Дечо Агостино Тренто — учёному и любезному читателю

(Это обращение принадлежит Дечо Агостино Тренто, издателю и другу автора, представляющему книгу читателю, — не самому Тартини.)

То, что чаще всего случается с людьми — взяться и хлопотать как раз о том, о чём они менее всего помышляли, — приключилось ныне и со мной: отвлечённый от учёных занятий ходом собственных дел, я всё же должен предстать перед очами знатоков, дабы поднести им книгу нового и важного содержания. Книга эта — детище достойнейшего синьора Джузеппе Тартини, который, благосклонно снизойдя ко мне, желавшему узнать скорее происхождение и науку музыки, нежели её практику, потрудился составить настоящий Трактат. И по новизне метода, и по изысканности познаний этот Трактат намного превосходит всё, чего я когда-либо живее всего домогался во всех своих к нему расспросах в кругу наших частных бесед. Ибо, будучи всецело погружён в исследование и в обозрение от начала и до конца науки физико-гармонической, он не может не рассуждать о ней куда более, нежели о самой музыке — этом малом, хотя и отрадном ручье, проистекающем из того великого источника. Но так он наделил нас благом столь обильным, что я не способен насладиться им вполне; и оттого оказываюсь приведён к суровой необходимости либо снести упрёк в неблагодарности к нему, либо прослыть завистливым и несправедливым перед людьми учёными, — если бы предпочёл скорее дать этому благу погибнуть в забвении, нежели уделить его тем, кто сумеет насладиться им полнее и сытее моего. Что же до него самого, который по крайней своей скромности всякий раз решительно противился одному лишь намёку на моё желание явить миру этот его дар, — я знаю, что он не сочтёт за знак благодарности с моей стороны решимость распоряжаться этими его сочинениями как своею собственностью; но что до того, чтобы держать их сокрытыми и тем лишить публику этого преимущества, — да отвратит от меня Бог подобный замысел, который я почитаю недостойным всякого честного человека. Итак, я подношу их вам, любезный и учёный читатель, ибо вы оцените их достойнее меня; и подношение будет достойно вас, если вам угодно будет прочесть их содержание со зрелым размышлением. И да не возразите мне, что не питаете к музыке ни страсти, ни услады, либо не разумеете её в достаточной мере, — худо вы возразили бы: ибо стоит вам лишь немного взойти к её истокам, как вы обретёте источник философских познаний, отнюдь не простонародных, — живой, неиссякаемый, нескудеющий. Из этого драгоценного источника всегда проистекают те доказательства и философские истины, которыми наш Автор столь счастливо оросил настоящий Трактат. Прочтите же его с доброй душою, внимательно: вы столь же скоро убедитесь в этом моём утверждении, как всякий учёный человек, имевший случай близко с ним знаться, тотчас убеждался в редких его дарованиях. И если при чтении он доставит вам удовольствие, прошу вас лишь об одном: чтобы вы прибавили мне своим суждением и одобрением столько отрады, дабы я почёл себя вознаграждённым за то, что однажды извлёк этого человека — вопреки всякому его сопротивлению — из укромного безмолвия, в коем слишком суровая скромность желала бы держать его лежащим и погребённым. И это, если взять дело в целом, несомненно должно послужить мне свидетельством признательности и привязанности к нему, которого я давно и горячо люблю и которым, как чувствую, в высшей мере любим. Таково моё намерение в обнародовании этого Трактата; и сверх того я желаю засвидетельствовать всему свету, что, если сам я и не наделён надлежащею учёностью, всё же глубоко чту всякого, кто наделён словесностью, эрудицией и учёностью. А потому чту и вас, читатель учёный и любезный, и желаю вам всякого вящего счастья.

Посвящение. Джузеппе Тартини — благородному синьору графу Дечо Агостино Тренто

Наконец я записал по порядку, согласно вашему велению, всё то, о чём мы между собою в разные времена столь различно беседовали о Гармонии музыкальной — теоретической и практической, особом вашем услаждении. Повинуясь вам, я был доволен по двум причинам. Первая та, что, исполняя это ваше желание, я исполняю и тот двойной закон уважения и любви, который к вам питаю. Вторая, в настоящем случае весьма знаменательная, та, что мне предстояло со всем возможным вниманием пересмотреть те споры, что возникали между нами при устном обсуждении этого предмета. Ваш ум, поистине глубокий и систематический, не способен успокоиться на доводе единичном, оторванном от той цепи доводов, которые по необходимости приводят к тем первоначалам, выше которых уже наверное нельзя положить иного начала. Я, увы, изведал это на собственный счёт, признаваясь вам вновь в том, в чём признавался уже не раз: чтобы отвечать должным образом на ваши возражения — всегда весьма веские и всегда систематические, — мне приходилось много размышлять. Ныне же мы у самого дела и в самой тесноте. Вам угодно было трактовать со мною этот предмет разговорно, без обязательства методического изучения, без порядка времён и материй; одним словом — для своей услады, а не как занятие. Весьма может статься, что во многих случаях вы не приметили всех трудностей и возражений; ибо хотя ум ваш быстёр, а память ваша — не что иное, как разумение, тем не менее легко порою отвлечь мысль на иное; и это отвлечение, хотя бы и зависело по большей части от обстоятельств посторонних, всё же способно настолько помешать, что не во всём можно уследить с точностью. Сколько раз наши беседы прерывались вашими посетителями и делами — так что мы их более не возобновляли и не доводили до конца! Ныне же мне отрадно положить вам перед глазами систему всю целиком и в порядке. Вы прочтёте её на досуге; ничто не ускользнёт от вашего рассмотрения; а я, возвратившись в город, с удовольствием и с участием выслушаю ваше суждение, которое для меня чрезвычайно важно. Порядок, принятый в изложении Трактата, рождается из самих вещей, как вы увидите. Я отделил от этого порядка краткий трактат об арифметической науке, дабы вы могли пересматривать его и держать наготове при надобности. Остальное же из этой науки, коей трактат — лишь малейшая часть, ныне излишне. Я верно соблюдаю с вами уговор не вдаваться в учёность и клянусь, что не понёс никакого труда, соблюдая его со всею точностью. Я счёл бесполезным делом нисходить до мельчайших частностей гармонии практической, или контрапункта. Я обидел бы вас, зная по опыту, какие и сколь многие следствия вы умеете законно выводить из одного надёжного положения. Сверх того, моё намерение в этом трактате не иное, как образовать скелет музыкальной системы, выведенной из начал физических и доказательных и составленной из своих неотъемлемых частей таким образом, чтобы не оставалось никакой возможности прибавить или убавить что-либо в её существе, хотя и оставалось бы место для многих выводов; и таково, если не обманываюсь, было ваше желание и веление. К тому же я не мог удержаться от неумеренного смеха, вызванного первою мыслью, пришедшею мне в голову, — написать настоящий трактат слогом скорее изысканным, нежели простым. По счастью, я в нём не поселился. Слог низок, не то что прост; и так оно хорошо, ибо так вы видите, что пишу я от сердца, а не от головы. Словом, я сделал лучшее, что мог и умел, дабы вам повиноваться, и от сердца желаю, чтобы это мне удалось.

Предпосланный трактат

В кратком этом предпосланном трактате — малой части древней арифметической науки — Тартини предполагает уже известными обычные действия над отношениями: сложение, вычитание, умножение и деление. Непосредственное и ближайшее основание этой части опирается на доказательство, приведённое в третьей главе (Положение шестое, Фигура VI): а именно, что в шестикратном отношении находятся завершение и полнота целостного объёма гармонической системы — в силу четырёх средних двойного отношения, доказанного как первое всеобщее начало системы. По общему согласию, у всякого отношения четыре средних: гармоническое, геометрическое, арифметическое и контргармоническое.

[математическая выкладка — опущена]

Суть рассуждения, проведённого Тартини на числовом примере двойного отношения (120 и 60, со средними 80, 90, 100 и выводимым четвёртым средним 84), такова: обычное геометрическое среднее двух чисел в общепринятом смысле есть величина иррациональная — для всякого простого или составного отношения арифметического ряда оно невыразимо рациональным числом, его можно задать и доказать лишь геометрически, линией (отрезком). Однако наука гармоническая, не пользующаяся иррациональными величинами, нуждается в ином средстве. И Тартини вводит своё особое понятие — «**неполное рациональное геометрическое среднее**» в отличие от «**полного иррационального геометрического среднего**», каково среднее в общепринятом разумении.

[математическая выкладка — опущена]

Развивая это, он показывает (на длинном ряде числовых построений — 5, 7, 10; 12, 17, 24; 29, 41, 58 и так далее в бесконечность), что произведение такого среднего, взятого само на себя, всё ближе и ближе подходит к произведению крайних членов, расходясь с ним лишь на единицу, — и потому это среднее по природе своей геометрическое, хотя и выразимо рациональными числами. Отсюда он выводит способ задавать рациональными числами корни любого отношения и сколь угодно уменьшать избыток или недостаток этих корней в бесконечной прогрессии.

Здесь Тартини обращается к графу: «Соблаговолите, синьор граф, заметить, что в музыкальном Трактате, полном дискретных геометрических пропорций, я называю* центрами *пропорции соответственные средние — гармоническое и арифметическое, внутри которых заключается как полное геометрическое среднее общепринятого разумения (невыразимое рациональными числами), так и неполное геометрическое среднее этой науки (выразимое рациональными числами). То же делаю я и в отношении двух средних — арифметического и контргармонического. По иным основаниям я вправе по справедливости звать их* центрами; *но коль скоро имя ничего не значит, довольно, чтобы вы разумели вещь, мною этим именем названную».

Далее следует обширное геометрическое построение: Тартини показывает, как эти числа-корни (5, 7; 9, 11; 13, 15 и прочие, образованные из суммы соседних отношений) суть «средние пропорциональные» соответствующих отношений, и как их можно построить геометрически — через окружность, диаметр которой разделён на равные части, и проведённую из этих частей к окружности хорду; так получают, как сторону и диагональ квадрата, «полные двойные геометрические корни».

[математическая выкладка — опущена]

Вывод (Королларий) Тартини формулирует так: не может быть никакой геометрической линии первого положения, или первого корня, которая не сводилась бы к показанному здесь положению двух рациональных членов, составляющих отношение; иначе она не есть и не может быть первым началом величины. А потому: для гармонической науки, которая не пользуется иррациональными величинами, эти числа служат неполными геометрическими корнями; для науки же геометрической они служат указанием истинного места и истинного способа выводить средние пропорциональные линии как полные геометрические корни соответствующих отношений. Но и в том, и в другом смысле они суть геометрические корни, доказательно являющие соответственное отношение, — а это и есть главная суть.

Вот всё, что я почитаю достаточным для частной и общей надобности Трактата, дабы вы поняли то основание и тот способ, коими я пользуюсь в соответственных доказательствах, — основание и способ, столь свойственные именно физико-гармонической системе, что свести их к общему языку известных доказательных наук, по моему мнению, дело невозможное. Ибо величина не есть цель системы, но средство. Цель же, как вы ясно увидите, есть отношение; и притом не в одном отношении, а во многих. Всякое отношение должно пребывать в величине дискретной, а не непрерывной. Его надлежит рассматривать в трёх родах — гармоническом, геометрическом, арифметическом; а потому становится необходимым постоянное употребление дискретных геометрических пропорций. Его всегда должно предполагать в системе, а не вне системы. Его надлежит сравнивать внутри системы с другими отношениями, ибо избыток и недостаток есть отношение реальное, которое исчисляется в системе. Его надлежит выражать способом, легко применимым к звучащей линии и к музыкальным нотам, и так далее. Этого довольно, чтобы убедить меня в невозможности пользоваться иным способом, — не прибавляя к тому рассмотрения тех более важных соображений, которые ради краткости опускаю. Что же до того, что применённый мною способ несёт с собою некоторую новизну, а следственно и некоторую трудность, — это я сознаю и признаю; но равно сознаю и признаю, что этого нельзя избежать. Да послужит в таком случае утешением быть уверенными, сколько нас есть, что, будь даже ещё возможно свести настоящий особый способ к общему способу прочих доказательных наук, отсюда воспоследовали бы трудность и тёмнота несоразмерно бóльшие и польза совершенно ничтожная для музыкального дела.

Глава I. О гармонических феноменах, их природе и значении

Гармонические феномены, обыкновенно известные особым своим значением и указанием, суть: струна, натянутая на монохорде или клавесине; морская труба (tromba marina), духовые трубы и охотничьи рога; органные трубы, управляемые одною педалью; звучащие подвешенные струны, к которым прикреплён известный ряд равных грузов.

Струна, натянутая на монохорде (будь она из жилы или из стали), которая, будучи единою, должна была бы иметь один-единственный звук, явственно имеет три звука: это низкий, природный звук самой струны и ещё два высоких, различимых звука, которые относятся к звуку струны (как I) подобно тому, как 3 и 5; в числах — 15, 5, 3; в музыкальных нотах:

[нотный пример]

Итак, струна, которая сама по себе едина, делится в себе самой гармонически, ибо 1, 3, 5 есть гармоническая пропорция.

Морская труба, духовые трубы и охотничьи рога суть феномен однородный. Физически невозможно в названных инструментах получить иные звуки, кроме звуков гармонического ряда дробей 1, 2, 3, 4 и так далее в бесконечность. В числах они таковы: 60, 30, 20, 15, 12, 10 и так далее; в музыкальных нотах:

[нотный пример]

Оставляя в стороне разыскание физической причины такого действия в духовых трубах и охотничьих рогах, объясню причину для морской трубы как физически очевидную. Когда эта причина будет известна и стоять вне всякого возражения, вы сможете применить свои выкладки и к духовым инструментам. На морской трубе играют не так, что прижимают струну пальцем до самой её доски, как делается на прочих смычковых инструментах — виолончели, скрипке и тому подобных; но палец прикладывают сбоку, так что он служит точкою опоры таким образом, чтобы колебания звучащей части струны могли свободно переходить на незвучащий остаток струны. Чего не случается и не может случиться на виолончели, скрипке и тому подобном, ибо палец, прижимающий струну к доске, всегда образует новый порожек (capotasto); а потому физически невозможно, чтобы колебания звучащей струны на таких инструментах переходили на тот остаток струны, что лежит между пальцем играющего и природным порожком.

Положив это и приняв за физически истинное, причину того, что на морской трубе нельзя иметь иных звуков, кроме звуков гармонического ряда дробей, легко увидеть как физически очевидную. Пусть AB будет струна морской трубы:

[нотный пример]

Палец играющего приложен сбоку в точке C, на середине струны AB, и звучит струна AC. Колебание AC с известной скоростью перейдёт равным в CB, равное AC, и возвратится равным в BC, в CA; и будет так продолжаться, пока играют, по точкам или опорам ACB, туда и назад, в бесконечность. Стало быть, по равным частям. Пусть палец играющего будет в D, что есть треть струны AB, и звучит AD. Колебание AD перейдёт равным в DF, что есть треть струны AB, делённой натрое; меж тем как уже общеизвестны природные опоры, которые струна образует сама по себе, будучи определена опорою искусственной, — в силу закона природы, по которому движение умножается соразмерно степени силы, сообщённой движению и поддержанной. Равным образом перейдёт оно и в FB, возвращаясь из B в F, из F в D, из D в A и так далее, пока играют, по точкам или опорам ADFB, туда и назад, в бесконечность. Стало быть, по равным частям. Так же будет, когда палец поставлен в E и звучит струна AE (четверть струны), — и так в бесконечность, по гармоническому ряду дробей. До сих пор тут нет и не может быть возражения, ибо природные опоры, которые независимо от человеческого произвола образуются на струне, определённой искусственной опорою, не оставляют места никакому сомнению.

Пусть снова та же струна AB разделена на пять. Пусть палец играющего приложен в H, и звучит та часть струны AH, что составляет две пятых от AB. Колебание AH перейдёт равным в HI, что есть две пятых. Но будет физически невозможно, чтобы оно перешло равным в остаток IB, что есть одна пятая. Возникнет, стало быть, новое колебание в IB, отличное наполовину от первых; и, возвращаясь назад по точкам IKHLA, оно встретится в I с первым колебанием двух пятых. Но, переходя в K, оно не только не встретится с колебанием IH, но, прерывая и рассекая его, по физической необходимости породит разрушение колебания IH, а вслед затем, переходя в L, — и колебания HA; и по физическому следствию прекратится звук, непосредственно зависящий от колебания AH. Услышится, стало быть (как и в самом деле слышится), некое жужжание, которое рождается из противоборства двух различных колебаний и которое никогда не есть звук, ибо в таком случае звук физически невозможен. Один этот пример почитается достаточным, чтобы наглядно показать физическую причину того, что звук на морской трубе должен обнаруживаться лишь в одном гармоническом ряде дробей и не должен обнаруживаться ни в каком ином ряде. Ибо, коль скоро выявляется физическая необходимость равных колебаний, дабы был звук, эти колебания нельзя получить иначе как от одного только гармонического ряда — по причине единицы, постоянной в бесконечность, числителя дробей 1, 2, 3, 4 и так далее. Лишь единица, соответственная дробям, может дать звук, ибо делит на равные части всю струну; и вследствие того колебания, образованные природными опорами, остаются равны первому колебанию опоры искусственной, всегда определяемой гармоническою единицей, соответственной дроби. А потому вне гармонической единицы — и в роде, и в виде — физически невозможен будет всякий звук на морской трубе; и в этом смысле и отношении гармонические единицы суть истинные физические монады. Знаю, что общим именем их должно звать долями (parti aliquote); но это не отвечает моей надобности, да и такое имя не выражает того, что я хочу обозначить. Я рассматриваю доказательно и физически их особый характер единицы, как будет всё яснее видно в дальнейшем. В этом отношении имя «доля» не значит ничего, а имя «единица» значит всё.

Органные трубы, управляемые одною педалью, суть многие, различны между собою по звуку, звучат все одновременно — и тем не менее слышится лишь один-единственный звук, наинизший. Расположение их, или ряд, различно сообразно различным регистрам, но по существу гармонично, ибо физически невозможно достигнуть того же намерения каким-либо иным рядом. Итак, дан ряд органных труб, расположенных в своих звуках гармонически таким образом:

[нотный пример]

— когда звучит педаль, управляющая всеми названными трубами, услышится лишь один наинизший звук, C (Cfolfaut). Стало быть, в этом феномене различное сведено к одному и тому же, множественность — к единице, в силу гармонического ряда.

Дан ряд звучащих подвешенных струн, предположенных равной толщины и расположенных по длине своей как квадраты дробей 1, ¼, ⅑, ¹⁄₁₆ и так далее, причём к каждой струне прилажен всегда равный груз: звуки названных струн в музыкальных нотах будут таковы:

[нотный пример]

— а в числах: 60, 30, 20, 15, 12, 10, то есть гармоническая прогрессия. Качания названных струн равновременны по такому закону: пока струна 1 качается один раз, струна ¼ качается дважды, струна ⅑ — трижды, струна ¹⁄₁₆ — четырежды и так далее, и они встречаются в одной и той же точке, когда им сообщают движение соразмерно. То же самое в точности происходит, если, дан ряд струн, равных по длине и толщине, к первой приладить один груз, ко второй — четыре груза (каждый равный первому), к третьей — девять грузов, к четвёртой — шестнадцать и так далее. Равным образом получится в звуках гармонический ряд, а в качаниях, равновременных, — единица.

Таковы гармонические феномены, обыкновенно известные. Указание и значение их физически явны. Струна монохорда или клавесина, хотя и единая в себе самой, производит три звука в гармоническом ряде. Морская труба (а с нею и духовые трубы, и охотничьи рога) не имеет и не может иметь звука иначе как в единице, поскольку она гармонична. Органные трубы, различные между собою по звуку, образуют один-единственный звук, когда расположены гармонически. Звучащие подвешенные струны, поскольку звуки их — в гармонической прогрессии, сводятся к единице в своих качаниях. Стало быть, гармоническая система сводит различное к одному и тому же, множественность — к единице; а дана простая единица (как бывает в струне трёх звуков) — она делится в себе самой гармонически. Стало быть, от гармонической системы неотделима единица, рассматриваемая в любом отношении; более того, гармоническая система разрешается в единицу как в своё начало. Следствие это вполне законно, ибо оно физическое; а потому и совершенно независимое от человеческого произвола.

Затем открыт был новый гармонический феномен, который дивно доказывает то же самое — и много более. Дано два звука какого-либо музыкального инструмента, способного протягивать и усиливать звук сколь угодно долго (трубы, охотничьи рога, смычковые инструменты, гобой и тому подобное): получается **третий звук**, производимый ударом двух объёмов воздуха, приведённых в движение двумя данными звуками. Физическое объяснение того, каким образом производится этот третий звук, для настоящей надобности ничего не значит; довольно самого факта, и его-то я обязан объяснить. Пусть скрипач сыграет одновременно, сильным и выдержанным смычком, следующие интервалы, совершенно чисто настроенные:

[нотный пример]

— услышится третий звук, вполне различимый, и будет он тот, что подписан внизу в нотах.

То же самое произойдёт, если выставленные интервалы будут сыграны двумя скрипачами, отстоящими друг от друга на пять-шесть шагов, причём каждый играет свою ноту в одно и то же время и всегда сильным и выдержанным смычком. Слушатель, поставленный посредине между обоими играющими, услышит этот третий звук гораздо сильнее, нежели вблизи каждого из двух играющих, — явный физический признак причины третьего звука, каковая есть удар двух соответственных объёмов воздуха, приведённых в движение колебаниями двух звучащих струн. Тот же самый результат получится от двух гобоистов, поставленных друг от друга на гораздо большем расстоянии: поскольку звук гобоя сильнее звука скрипки, выходящий третий звук услышится лучше, и посредине между обоими играющими услышится он превосходно, хотя и довольно явственно слышен в любом месте. Все третьи звуки, физически проистекающие из любого простого интервала, входящего в гармонический ряд вплоть до того предела, что служит музыкальной практике, суть следующие.

Дан унисон и дано двойное отношение, или практически октава, — третьего звука никакого рода не возникает.

Дано полуторное отношение (sesquialtera), или практически квинта, — возникает третий звук в унисон с нижнею нотою квинты. Он труднее всех различим, ибо в унисон; но различается всё же достаточно.

[нотный пример]

Дано отношение sesquiterza, или практически кварта, — третий звук оказывается на квинту ниже нижней ноты кварты.

[нотный пример]

Дано отношение sesquiquarta, или практически большая терция, — третий звук на октаву ниже нижней ноты большой терции.

[нотный пример]

Дано отношение sesquiquinta, или практически малая терция, — третий звук на большую дециму ниже нижней ноты малой терции.

[нотный пример]

Дано отношение sesquiottava, или большой тон, — третий звук в четверном отношении ниже, то есть на квинтдециму ниже нижней ноты большого тона.

[нотный пример]

Дано отношение sesquinona, или малый тон, — третий звук в четверном полуторном (quadrupla sesquiottava) отношении ниже, то есть на сексту-дециму ниже нижней ноты малого тона.

[нотный пример]

Дано отношение sesquidecimaquinta, или большой полутон, — третий звук на двадцать первую ниже нижней ноты большого полутона.

[нотный пример]

Дано, наконец, отношение sesquivigesimaquarta, или малый полутон, — третий звук на двадцать шестую ниже нижней ноты малого полутона.

[нотный пример]

Таков физический закон третьего звука в отношении простых музыкальных интервалов. Если же они составные, или, как практически их называют, обращённые, — большая терция, обращённая в малую сексту, имеет тот же третий звук, что имела как большая терция.

[нотный пример]

Малая терция, обращённая в большую сексту, имеет тот же третий звук, что имела как малая терция, но октавою выше.

[нотный пример]

Так же соразмерно — все составные, или обращённые, интервалы.

Третий звук, выходящий из кварты, из двух терций — большой и малой, из двух секст — большой и малой, легчайше различим, ибо эти интервалы легко настраиваются чисто, и третий звук всегда более низок; не так легко — из квинты, по причине унисона; трудно — из двух тонов, большого и малого, ибо при настройке легко спутать один тон с другим; труднее же всего — из двух полутонов, большого и малого, ибо с великим трудом улавливается физическая точка их совершенной настройки, и весьма малая разница в величине меняет третий звук. **Например, большой тон лежит между 9 и 8; малый — между 10 и 9. Приведя оба тона к общему члену, получим: большой тон — 90, 80; малый — 90, 81. Разница лежит между 80 и 81. Этого довольно и более чем довольно, чтобы изменить третий звук.** Пусть будет в тоне G (Gfolreut):

[нотный пример]

— третьим звуком будет G (Gfolreut), ибо данный интервал есть большой тон. Пусть будет в тоне C (Cfolfaut):

[нотный пример]

— третьим звуком будет F (Ffaut), ибо данный интервал есть малый тон.

(⭐ Здесь — место, важнейшее для скрипача: третий тон есть тончайший физический указатель чистоты интонации. Достаточно различия в одну единицу — между 80 и 81, — чтобы третий звук переменился; а потому слух, ловящий третий тон, ловит и совершенную чистоту строя. Тартини и обращает это в орудие проверки интонации.)

Вы по справедливости спросите меня о двух вещах. Первое — производится ли третий звук от любого данного интервала. Отвечаю, что, за исключением унисона и октавы, он производится от всякого в роде самом общем; ибо третий звук получается не только от интервалов, составленных из рациональной величины, но и от интервалов, составленных из величины иррациональной. Поясню. Пусть один палец играющего будет на D (Dlasolre) и пребывает всегда постоянным; пусть другой будет на G (Gfolreut) и движется, никогда не отрывая его от струны, продолжая всегда вести смычок. Такой ход будет непрерывным, внутри которого встретятся иррациональные величины. В какой бы физической точке этого непрерывного ни пожелал остановиться играющий, всегда получится третий звук, либо познаваемый, либо непознаваемый: хочу сказать — либо различимый, либо неразличимый в своей настройке. Скажу более: может быть доказательная наука о том самом третьем звуке, который должен производиться от двух звучащих линий, из коих одна рациональна, а другая иррациональна, но геометрически познаваема. Отсюда вы немедленно выведете, что тем более должна быть доказательная наука о третьем звуке, производимом от двух рациональных звучащих линий. Но об этом — устно.

Вы спросите меня затем, во-вторых, в каком отношении находится этот третий звук к соответственным интервалам, из которых он проистекает. Отвечаю вам, что, даны следующие интервалы:

[нотный пример]

— которым соответствует подписанный внизу третий звук, — этот звук будет доказательно гармоническим басом данных интервалов, и всякий иной бас, какой бы под них ни подставить, окажется паралогизмом (ложным умозаключением). Только заметьте, что три помеченных интервала — шестой, восьмой и десятый — находятся в отношении, отличном от того, каким кажутся. Шестой и восьмой суть не малые терции, но sesquiseste; то есть G-бемоль (Gfolreut fa molle) есть та нота, которая делит кварту гармонически, а потому интервал E–G (Elami, Gfolreut) меньше малой терции в отношении 5 к 6.

[нотный пример]

Таков же интервал восьмой, и таков же десятый, если перенести G (Gfolreut) в верхний регистр.

[нотный пример]

Этот интервал легчайшей настройки на скрипке — или, лучше сказать, гармонической по природе, ибо встречается образованным от природы в морской трубе, духовых трубах и охотничьих рогах, — а потому я и выставляю его в вышеназванном примере.

Положив и объяснив этот феномен, вывод становится явным. Дана гармоническая система дробей и приложена к физической звучащей линии — говорю, что от всякого простого интервала бесконечного гармонического ряда всегда получится один и тот же третий звук, и будет он в унисон со звуком звучащей струны (соответствующим дроби ½).

Чтобы избежать излишнего, пусть будет гармоническая система вплоть до шестикратного отношения. Дана квинта — получается третий звук в унисон с нижнею нотою квинты. Стало быть, от квинты, составленной из второго и третьего члена ряда, получится третий звук в унисон со вторым членом. Но это ½; стало быть, и так далее. Дана кварта — получается третий звук на квинту ниже нижней ноты кварты. Стало быть, от кварты, составленной из третьего и четвёртого члена ряда, получится третий звук в унисон со вторым членом, что и есть квинтой ниже. Но это ½. Стало быть, и так далее. Дана большая терция — получается третий звук на октаву ниже нижней ноты большой терции. Стало быть, от большой терции, составленной из четвёртого и пятого члена ряда, получится третий звук в унисон со вторым членом. Стало быть, и так далее. Так же — о последнем интервале, который есть малая терция; так же — обо всех бесконечных последовательных интервалах в продолжении ряда 7, 8, 9 и так далее, в бесконечность. Вывод ясен, а результат удивителен и единствен. Ибо, с одной стороны, нельзя отрицать, что третий звук, постоянный в бесконечность на ½, не был бы физическим корнем гармонической системы, — и это вещь физически очевидная. С другой же стороны, нет и не может быть выкладки, выведенной из доныне известных наук о величине, силою которой объяснился бы и разрешился феномен, зависящий от величины и имеющий своим физическим законом особое свойство величины, совершенно новое, — а именно, что, дано 2, 3, выходит ½; дано 3, 4, выходит ½; дано 20, 21, выходит ½; дано 100, 101, выходит ½, и так далее. Между тем посредством этого феномена физически устанавливается единица, постоянная в бесконечность на ½, как физический корень гармонической системы. Эта единица была выведена в общем виде из прочих обыкновенно известных феноменов. Но из этого последнего, новооткрытого, она выводится с точностью, что и есть то «много более», выше упомянутое, сверх того, что ещё остаётся вывести.

Почему же этот третий звук находится не в единице, которая есть начало и первый член гармонической системы, но в ½, что есть второй член системы; почему от двойного отношения, или практически октавы, не получается третьего звука, тогда как он получается от любого данного интервала вообще, — это будет объяснено в дальнейшем, в месте надлежащем и необходимом.

Глава II. О круге, его природе и значении

Где речь идёт о том, чтобы установить систему, там необходимо соединить два рода — физический и доказательный — таким образом, чтобы они были неотделимы друг от друга и образовали единое начало. Так должна держаться всякая система; и мы убедимся в этом, как только достаточно поймём, что значит единое начало. Оно значит, что расчёт, которым ведётся доказательство, должен быть по самой сути своей выведен из физической природы доказываемой вещи. Так, и не иначе, два рода — физический и доказательный — образуют между собою единое начало. Закон этот суров, но справедлив; и в силу этого закона, который есть пробный камень всякой физико-математической системы, отыщется очень немного систем, не терпящих исключения.

Поясню точнее. Известные доныне науки о количестве все основаны на количестве, но в разных отношениях. Есть наука арифметическая. Она основана на количестве, составленном из равных рациональных частей, и, следственно, на обыкновенном арифметическом числе: 1, 2, 3, 4 и так далее. Есть наука гармоническая. Она основана на количестве, составленном из неравных рациональных частей, и, следственно, на дробях: 1, ½, ⅓, ¼ и так далее. Есть наука геометрическая. Она основана на количестве непрерывном, из которого происходит количество иррациональное, не выразимое ни числом, ни дробями. Есть и многие другие науки, основанные на иных отношениях, — алгебра, исчисление дифференциалов, бесконечно малых и прочее. Все они применимы к физическому как к количеству. Но это положение необратимо, ибо неверно, будто физическое как количество, по собственной внутренней своей природе, применимо ко всем названным наукам.

Пусть примером — очевиднейшим — послужит струна трёх звуков. Все известные науки о количестве применимы к такой струне в их разных отношениях. Но если струна, как звучащее тело, независимо от человеческого произвола сама собою раскрывается в себе гармонически, ибо делится сама по себе в отношении 1, 3, 5, — то она физически исключает всякий иной способ количества. А значит, приложение какого-либо иного способа количества к струне, которая физически объявляет себя гармонической, будет полнейшим паралогизмом, без всякого основания самой возможности приложить к ней какой-либо иной способ количества вообще. Совершенно верно, что струна, рассматриваемая отвлечённо — как прямая линия вообще, — может быть предметом и подлежащим количества в отношении к любой науке. Остаётся посмотреть, не определена ли она конкретно самой природою к некоему особому предмету и подлежащему, как именно и происходит в приведённом примере. Ибо в таком случае природа возьмёт верх над человеческим произволом, и приложение расчёта непременно даст осечку, коль скоро оно не будет в точности тем, чего хочет природа. Все доказательные выводы окажутся, следственно, истинны, ни один из физических выводов не будет истинен; и потому всегда останется истинным названный закон: что для установления всякой физико-математической системы необходимо соединение двух родов, физического и доказательного, таким образом, чтобы они были неотделимы друг от друга и образовали единое начало.

Я подписываюсь под этим законом. И в силу того обязан найти в доказательном роде то самое единство, какое найдено в роде физическом. Поскольку же для доказательства необходимы геометрические фигуры, то из всех возможных фигур нет и не может быть иной, кроме круга, которая была бы едина сама в себе; а едина она потому, что бесконечные радиусы, проведённые из центра к окружности, равны между собою, и они суть не что иное, как само то единство, которое механически образует круг при растворе циркуля, — чего нет и не может быть ни в какой иной фигуре. Итак, круг есть единое в первом своём начале и по сути своей единое среди всех возможных фигур.

Однако недостаточно, чтобы круг был един вообще. Я обязан доказать, что он един единством гармоническим, ибо единым гармоническим единством является физическое начало. Это дело нетрудное, хотя (как я полагаю) геометрами не замечённое. Если со всею строгостью располагать доказательные фигуры так, чтобы они верно представляли расположение физических данных, то оказывается необходимым положить и прямую линию, и кривую. А сведённые к фигуре, они дадут квадрат и круг, который есть величайшая из кривых. Физико-гармонические явления доказывают необходимость такого положения. Качающаяся струна сама по себе есть прямая линия, общая и диаметру круга, и стороне описанного квадрата. Колебания качающейся струны суть кривые по виду своему. Не зная же, которой из двух фигур свойственна прямая линия, ибо она общая обеим, — мы вынуждены принять обе названные фигуры, ибо у них прямая линия общая. То же скажем вообще и о струне, натянутой на монохорде, хотя колебания её доныне ещё не доказаны круговыми. То же скажем и о третьем звуке, рождающемся от двух струн, звучащих одновременно. Две данные струны суть в действительности две прямые физические звучащие линии. Два объёма воздуха, приведённые в движение двумя струнами, суть в действительности две сферы. Стало быть, на плоскости — прямая линия и круговая; и, следственно, по фигуре — квадрат и круг, имеющие общую прямую линию.

Почему же квадрат должен быть описанным, а не вписанным, — это окажется в дальнейшем многими способами; впрочем, для нас довольно заметить, что прямая линия имеет первенство по природе над линией круговой — что и физически, и доказательно истинно. Физически — во всей вселенной и во всех её частях. Доказательно — в построении круга, невозможном без предположения прямой линии. Стало быть, соответственно: описанный квадрат, вписанный круг. Положив же необходимым расположение двух фигур, мы делаем тем самым необходимым и сравнение их между собою, дабы из его итога вывести их природу. Итак, пусть будет первая пропозиция.

Пропозиция первая. Фигура I

Чтобы сравнить между собою две фигуры — описанный квадрат и вписанный круг, — положением первой простоты служит удвоенное радикальное отношение в BC, AC. Ибо BC есть равно и сторона квадрата ABCD, и полудиаметр, то есть раствор циркуля круга AEC. Так же AC есть равно и диагональ того же квадрата, и хорда дуги квадранта того же круга. Отсюда три общие точки в общем треугольнике ABC. Когда же надлежит сравнить между собою две фигуры в одной и той же категории, то доказательно необходимо взять эту категорию от двух общих линий BC, AC, — стало быть, от удвоенного радикального отношения. А отсюда, как следствие, в общей категории получается прогрессия синусов и продолженных синусов, имеющих общее начало, и так же прогрессия хорд и гипотенуз, имеющих общее начало.

Пропозиция вторая. Фигура II

Если в круге для диаметра, рационально разделённого, дан какой-либо синус (геометрический в отношении к разделённому диаметру) и продолжен до стороны описанного квадрата, — то говорю, что квадрат, выведенный из синуса, будет средним гармоническим, а квадрат, выведенный из продолженного синуса, — средним арифметическим того отношения, в котором разделён диаметр, коль скоро это отношение приведено к дискретной геометрической пропорции, образованной из двух средних — гармонического и арифметического.

[Числовой пример с диаметром, разделённым в отношении 3 к 7, и проверкой квадратов синусов — опущен.] Так и для всякого отношения.

Пропозиция третья. Фигура III

Если в круге дана какая-либо хорда, выведенная рациональным делением диаметра из своего синуса и из общей точки A, и дана гипотенуза, выведенная из того же продолженного синуса до стороны диаметра и из той же общей точки A, — то говорю, что квадрат хорды будет средним гармоническим, а квадрат гипотенузы — средним контргармоническим бо́льшего отношения, арифметически делённого пополам, того отношения, в котором разделён диаметр, — коль скоро названное отношение приведено к дискретной геометрической пропорции, как выше, с прибавлением контргармонического среднего.

[Числовой пример с диаметром, разделённым в отношении 5 к 9, выкладками квадратов и проверкой — опущен.]

И заметьте: бо́льшим отношением я вообще называю то, у которого разность, взятая между его крайними, больше разности, взятой между крайними отношения сравниваемого. [Числовая проверка этого определения на отношениях 5 к 7 и 7 к 9 — опущена.]

Итак, когда две фигуры — описанный квадрат и вписанный круг — сравнены между собою в том отношении, в каком они сходятся друг с другом по положению первой простоты, оказывается, что квадрат, по двум прогрессиям, переменно арифметичен и контргармоничен, а круг — постоянно гармоничен. Но он един сам по себе (доказано выше из самого его построения). Сравнённый же с фигурою необходимою и единственной для сравнения, он гармоничен (доказано теперь). Стало быть, он един единством гармоническим, — что и надлежало доказать.

Что же отношение, в котором разделён диаметр, переносится в дискретную геометрическую пропорцию и, следственно, сводится к некоему общему отвлечённому отношению, в каком, как в роде, сходятся круг и квадрат, — это нисколько не противоречит доказанной пропозиции, а лишь сильнее её подтверждает. Ибо мы ничего иного не сделали, как только раскрыли тот род, в каком сходятся две фигуры, различные между собою по виду; и такое раскрытие не только подтверждает пропозицию, но сверх того образует полную её науку, научая общему началу обеих фигур.

Для полного уразумения этого начала предпошлю один факт, стоящий вне спора: невозможность построить круг раствором циркуля без образования полуторного отношения между раствором циркуля и диаметром. В силу этого факта (с виду простейшего) остаётся истинной следующая пропозиция: прежде чем разделить диаметр в каком-либо из бесконечно возможных отношений, в диаметре заранее уже есть удвоенное отношение, до того присущее ему по сути, что без него нет и не может быть диаметра. Стало быть, когда диаметр делят, тем самым по сути своей и неизбежно делят и удвоенное отношение, которое есть отношение a priori, на иное отношение, которое есть отношение a posteriori. Это второе может быть и может не быть, ибо зависит от произвола, в каком отношении делить диаметр. Но первое не может не быть, ибо зависит не от произвола, а от необходимости построения, и есть условие, без которого ничего нет. Следственно, доказательно невозможно отделить отношение произвольное от отношения необходимого, составляющего самый диаметр. А отсюда выходит, что из необходимой связи двух отношений — то есть удвоенного по природе и образованного по произволу — должна получиться третья форма отношения, которая геометрически их соединяет и в которой очевидно, что первая форма всегда есть удвоенное отношение.

[Числовое сведение отношения 3 к 7 к дискретной геометрической пропорции, с возвращением к диаметру и полудиаметру (раствору циркуля) как первому началу, — опущено.] Из этого следует, что отношение 3, 7, взятое по произволу, сводится к своему первому началу по необходимости, ибо сводится по сути к раствору циркуля как к своему центру, который, независимо от нашего произвола, есть первое начало.

Но иди дальше. Если диаметр разделён в каком угодно рациональном отношении, квадрат синуса есть среднее гармоническое между прямоугольниками, основаниями которых служат части диаметра, а высотою — радиус. В этой пропозиции ясно, что всегда постоянный радиус есть род; и что именно в силу радиуса, как рода и как первого начала, оправдывается моя пропозиция во всех своих частях.

Но бесконечно более — если предположить удвоенное отношение первым гармоническим началом в возможности, из которого происходит круг. Пусть это будет в предположении, доколе не докажется как положение, что и сделается вскоре. Говорю, что крайние члены, равные отношению AC 3, CB 7, не суть числа отвлечённые, ибо они неотделимы от удвоенного отношения как первого начала; и не суть иного рода и иной категории, нежели квадраты AC, CB, ибо они квадраты. Дабы доказательство образовало науку всеобщую, пусть будет фигура IV, в которой диаметр AM разделён гармонически на 2, 3, 4 и так далее; пусть выведены синусы и продолженные синусы, соответствующие делению; пусть отношения, в которых разделён диаметр, приведены к дискретной геометрической пропорции, образованной из двух средних — гармонического и арифметического; и пусть весь расчёт сведён к общему ряду.

[Здесь — таблица «Фигура IV, первая»: отношения деления диаметра AM и приведённые к ним дискретные геометрические пропорции, а затем выведенный ряд крайних членов (1200, 1350, 1440, 1500 к 1800), — числовые таблицы опущены.] Стало быть, полученный ряд равен ряду отношений суммированных гармонических разностей, каковые отношения образованы соответственной суммою, соотнесённою с крайним членом — диаметром.

[Таблицы крайних членов, квадратов синусов и продолженных синусов, гармонической прогрессии и суммированных разностей («Фигура IV, вторая») — опущены.] Итак, перенося гармоническую прогрессию 1, 2, 3, 4 и так далее на AB, взятый за диаметр, мы получим в хордах и в дополнениях, соотнесённых с AB, радикальную прогрессию названных квадратов — крайних членов постоянного арифметического среднего (продолженного синуса) и соответственного гармонического среднего, каковое есть синус.

Стало быть, соответственно, крайние члены 15, 35 не суть числа отвлечённые, но суть квадраты, неотделимые от удвоенного радикального отношения как первого начала a priori; и пропозиция доказана всеобще: что крайние члены, относящиеся к дискретной геометрической пропорции, к которой сведено данное в диаметре отношение и у которой средним гармоническим оказывается квадрат синуса, а средним арифметическим — квадрат продолженного синуса, суть все квадраты и по сути своей заключены в первой хорде, то есть в диагонали AB, ибо они суть в хордах и дополнениях её же, взятой за диаметр и разделённой в первом данном отношении.

Кто-нибудь решит возразить, будто из приведённого доказательства круг и доказывается единым гармонического единства, но доказывается таковым в сравнении с квадратом, а не сам по себе, — что и надлежало доказать. Но это никогда не будет доказано в силу синусов, ибо, напротив, синусы круга суть сами по себе средние геометрические и свойственны кругу. Стало быть, круг сам по себе геометричен.

Возражение это есть доказательство, и однако ничего не держит. Моя пропозиция основана на неотделимости двух фигур — круга и квадрата. Вот моё данное и доказанное: общий центр, общая линия и общие точки у двух фигур. Стало быть, круг, отделённый от квадрата и рассматриваемый сам по себе, есть ложное предположение в моей пропозиции. Этого довольно и более чем довольно для моей цели. Но поскольку точка эта последней важности — как в отношении к настоящей системе, так и в отношении к вещам бо́льшим, — пусть будет она исчерпана сполна.

Есть алгебраическое доказательство, что коль скоро даны единица и некий неопределённый член x, то для того, чтобы между этими двумя членами было назначено возможное среднее, никакого иного среднего доказательно назначить нельзя, кроме члена 2, как среднего гармонического между данною 1 и неопределённым членом x. Я не знаю, сколькими и какими способами строят это доказательство учителя сей науки, ибо алгебра мне неведома. Но по моей науке знаю наверное, что так и должно быть, ибо равным образом и в моей арифметической науке есть доказательство, доказывающее то же самое. Привести его считаю излишним: и потому, что понадобилось бы новое прибавление к предпосланному краткому трактату, и потому, что, имея от алгебры твёрдость пропозиции, для моей цели этого довольно.

Остаётся разыскать, в какой геометрической фигуре, в силу и по необходимости её построения, обнаруживается такой доказательный итог — притом так, что он есть условие, без которого ничего нет. Итог этот явствует из построения круга. Раствор циркуля есть данная единица. Диаметр есть член 2, выведенный из раствора циркуля по силе и необходимости построения. Неопределённый член есть окружность, выведенная по силе и необходимости построения. О, какие и сколь многие следствия из такого взгляда, коль скоро он верен! Но как и когда можно было бы доказать иначе? Разве сказав, что прямая линия, обращённая в себя самоё, строит круг, и в таком случае построение совершается диаметром, а не полудиаметром, который есть раствор циркуля? Но я спрошу: пусть мне назначат центр диаметра в отношении к окружности. И тогда всякому спору конец, ибо раствор циркуля есть и радиус, и центр. Или, быть может (и не без основания), скажут: коль скоро даны два члена 1, 2, то доказательно неназначаем третий член как гармонический, каковым в таком случае должна была бы быть окружность? Но это невозможно. Ибо хотя величина окружности в отношении к диаметру и не может быть назначена (и в этом отношении она признаётся неопределённой), всё же ясно, что, имея возможность приближаться к её величине бесконечной прогрессией всё большего приближения посредством вписанных и описанных многоугольников, находят, что диаметр относится к окружности как 7 к почти 22.

[Числовая проверка на членах 7 (диаметр), 22 (окружность), 3½ (раствор циркуля) и разностях между ними, показывающая, что они не суть гармонические, — опущена.]

Возражение это доказательно, по сути выведено из моего же положения, и однако ничего не заключает, ибо моя пропозиция остаётся истинной — доказанная вообще из единства круговой фигуры, в частности же из сравнения круга с квадратом. И поскольку мои доказательства и доказательство противное равно неразрешимы, законное следствие то, что неопределённый член x можно и должно понимать в двух разных смыслах — в смысле общем и в моём особом. Геометрам уже ведомо, что это не единственный случай, когда доказательно доказываются две пропозиции, противоположные между собою. Я же наперёд говорю, что здесь они не противоречат друг другу, и это будет видно в своём месте. Но перейдём к физической точности, на которую нет ответа.

Пусть будет звучащий цилиндр — например, литавра, или барабан. Если две его кожи между собою унисонны, то при ударе слышатся два звука: один — естественный для инструмента, и пусть это будет до; другой — отзывающийся, и это нижнее до, находящееся к естественному звуку в отношении субсесквитерции [то есть на чистую кварту ниже].

[нотный пример]

Отдели от цилиндра, то есть от литавры, кожу — верхнюю или нижнюю, — оставив при ней тот малый обруч, к которому она прикреплена, чтобы держалась натянутой. При ударе по ней услышатся равным образом два звука: один будет то же самое до, что есть звук естественный. Но другой, отзывающийся звук, будет уже не нижнее соль, а верхнее соль, с которым естественный звук образует отношение полуторное [то есть чистую квинту].

[нотный пример]

Опыт этот должно ставить тщательно. Две кожи цилиндра пусть будут унисонны, равны и гладки, насколько возможно, дабы звук был податливее к действию. Различающий два звука пусть будет искусен, чтобы их различить и о них судить. Впрочем, действие это вообще известно на литавре, то есть на цилиндре; не было оно известно на коже, отделённой от цилиндра.

Разберём это. При данном удвоенном отношении среднее арифметическое находится в сесквитерции с бо́льшим членом удвоенного (12, 9, 6), а среднее гармоническое — в полуторном отношении с тем же бо́льшим членом (12, 8, 6). Стало быть, сесквитерция определяет удвоенное арифметическое, а полуторное отношение определяет удвоенное гармоническое. Цилиндр есть квадрат, обращающийся в себя самого, и два звука цилиндра находятся между собою в сесквитерции. Кожа, отделённая от цилиндра, кругла, и два её звука находятся между собою в полуторном отношении. Сесквитерция определяет удвоенное арифметическое, полуторное отношение определяет удвоенное гармоническое, а в удвоенном отношении заключено испытание для первой пропозиции. Стало быть, два сесквитерцовых звука цилиндра физически определяют его арифметическим, ибо форма цилиндра есть квадрат; два звука отделённой кожи определяют её физически гармонической, ибо форма её есть круг. Стало быть, две сравнённые фигуры: каковы они на плоскости, таковы и в объёме; каковы доказательно, таковы и физически. Стало быть (как следствие), отзывающийся звук в обеих названных фигурах есть не что иное, как соответственный физический центр фигуры, каковой центр есть соответственно то же, что и соответственное среднее на плоскости. И потому арифметическая природа настолько присуща квадрату, а гармоническая природа настолько присуща кругу, насколько присущ им их соответственный центр.

Но поскольку можно бы возразить, что цилиндр не есть прямо квадрат, а квадрат, обращающийся в себя самого, в отличие от отделённой кожи, которая прямо кругла (и это именно довольно и более чем довольно для моей цели), — пусть будет прямо квадрат на плоскости. Есть доказательство из первых геометрических начал, что [геометрическое построение с двумя пересекающимися кругами и перпендикуляром, дающее сторону квадрата в сесквитерцовом радикальном отношении, — опущено; итог: квадрат стороны AC относится к квадрату EO как 4 к 3]. Вот сесквитерцовый центр в квадрате, выведенный по сути своей из единства, составляющего квадрат, то есть из его стороны. Отсюда выходит, что, поскольку цилиндр составлен из двух фигур — четырёхугольной и круговой, — он по сути своей зависит от линии EO, выведенной через круг; и потому в цилиндре отзывающийся звук ниже естественного звука, ибо отзывающийся звук имеет к естественному то же отношение, какое имеет квадрат AC к квадрату EO.

Из того же начала выходит, что если на плоскости дан равносторонний треугольник, описанный около квадрата, и круг, вписанный в квадрат, то равносторонний треугольник относится к квадрату как почти 29 к 24 — отношение меньшее сесквитерции и большее сесквикварты; а круг относится к квадрату как почти 11 к 14 — отношение меньшее сесквитерции и большее сесквикварты. Но, обращаясь в себя самого, равносторонний треугольник становится конусом; обращаясь в себя самого, квадрат становится цилиндром; обращаясь в себя самого, круг становится сферой; и доказано Архимедом, что конус, цилиндр, сфера — и в объёме, и в поверхности — находятся между собою в непрерывном полуторном отношении (9, 6, 4). Стало быть, в силу перехода названных фигур от прямого к круговому фигуры меняют природу отношения, ибо в прямом отношение было иррациональным, в круговом — рациональным; и то отношение, которое в прямом было между сесквитерцией и сесквиквартой, в круговом определяется к полуторному. Но полуторное отношение и есть то точное отношение, которое определяет гармоническую систему. Стало быть, круговая природа по сути своей гармонична.

Что полуторное отношение есть точное отношение, определяющее гармоническую систему, — хотя это и само по себе известно — доказывается многими способами. При данном удвоенном 1, 2 ход для образования пропорции может вести и к ¼ — и тогда пропорция будет геометрическою непрерывной; и к ⅓ — и тогда пропорция будет гармоническою. Но, поставив ⅓ после ½, необходимо образуется полуторное отношение между 2, 3; стало быть, полуторное определяет гармоническую пропорцию. А определив пропорцию, определяешь систему, стало быть, и так далее.

Предположив явление третьего звука, физически достоверно, что, поскольку от удвоенного третьего звука не получается, первый третий звук производится полуторным отношением (2, 3) и есть унисон к 2. Стало быть, первый третий звук, физический корень гармонической системы, получается в виде первого единства (ибо унисон), и потому первого начала, — от полуторного отношения. Стало быть, полуторное определяет и составляет гармоническую систему в производстве первого третьего звука как первого единства.

Если дано алгебраическое доказательство (в строгом алгебраическом смысле) единицы с членом x, имеющей член 2 как среднее гармоническое, то достоверно, что между этими тремя членами (1, 2, x) нет и не может быть пропорции, ибо от 2 к x нет и не может быть отношения. Стало быть, остаётся субудвоенное отношение 1, 2, не определённое к пропорции. Но поскольку 2 доказано средним гармоническим, а среднее определяет крайние члены к собственной их природе, то равно достоверно, что данная единица определена гармонической выведенным членом 2. Стало быть, коль скоро неопределённый член x исключён из пропорции, к которой он неспособен, остаётся первый гармонический член 2, второй гармонический член 1. Но одно отношение не определяет пропорции, а данное отношение доказательно гармонично; стало быть, по доказательной необходимости должно осуществить третий гармонический член, который определит названное отношение к гармонической пропорции, к которой данное отношение есть в доказательной возможности. Стало быть, третий член будет 3, каковой с данною единицею образует полуторное отношение. Стало быть, полуторное определяющее и так далее. Стало быть, по существу среднее 2 обращается в гармоническое единство. Данная единица обращается в 2 гармоническое, и отсюда бесконечная гармоническая прогрессия, определяемая 3-м. Всё это тождественно происходит в построении круга. Данная единица, которая есть раствор циркуля, обращается в полудиаметр как 2. Выведенное среднее 2 обращается в диаметр как 1, причём окружность остаётся исключённой как член неопределённый, а в диаметре заключена возможность гармонической прогрессии до бесконечности. И поскольку невозможна бо́льшая точность, чем эта, в каждом из двух родов — физическом и доказательном, — остаётся доказанной навсегда пропозиция, что круг по сути своей гармоничен.

Здесь кстати открывается место назначить причину, по которой от удвоенного нет и не может быть третьего звука и по которой третий звук должен обнаруживаться в 2. Удвоенное, выведенное из данной единицы и из неопределённого члена x, неделимо в смысле безусловном и всеобщем. Ибо, поскольку доказывается, что 1, x неспособны к иному делению, кроме как на 2 как среднее гармоническое, то три члена 1, 2, x остаются неделимыми в каком бы то ни было смысле. Стало быть, удвоенное гармоническое, поскольку неделимо, есть первое начало всеобщее a priori. И стало быть, физически невозможно, чтобы от удвоенного можно было получить третий звук. Ибо если третий звук есть физический корень гармонической системы, и если бы от удвоенного получался третий звук, то удвоенное не было бы первым началом a priori, а было бы первым началом a posteriori.

Ясно при названном положении 1, 2, x, что удвоенное, таким образом выведенное, есть отношение гармонической возможности. Я прибегаю не без некоторого внутреннего сопротивления к терминам начала a priori, начала a posteriori, возможности, действия и прочему, ибо знаю, что в нынешние времена всякий аристотелевский термин подвергается осмеянию; но употребление этих оборотов да не будет вменено мне в порок: я вызываю весь учёный мир назначить мне лучшие или равные для моей настоящей нужды. Стало быть, в каком бы то ни было смысле невозможно, чтобы от такого отношения возможности можно было получить физическое действие — определяющее и осуществляющее, — каковое есть третий звук; а должно его получить от полуторного отношения, которое и есть определяющее и осуществляющее гармоническую систему. Стало быть, по физической и доказательной необходимости третий звук должен падать в 2 — средний член, соединяющий два отношения 1, 2, 3.

Вы скажете, что это самая настоящая метафизика. Я Вам отвечу, что к такой метафизике я необходимо приведён моими физическими данными, неотделимыми от доказательств. Коль скоро я не уличён в паралогизме, я могу почитать за честь, что я, быть может, первый (по крайней мере в нынешние времена) открыл метафизику наук о количестве, выведенную из вещей физических таким образом, что отделить её невозможно. Я следую за истиной, какова она в вещах, доколе она меня ведёт; и уверен, что доныне следовал за нею со всею строгостью. Так буду делать до конца.

Из того, что заключено здесь выше, выходит как следствие, что утроенное отношение есть отношение системы. Ибо, поскольку неотделимы между собою удвоенное как отношение в возможности и полуторное как отношение в действии гармонической системы, и поскольку они соединены между собою членом 2, который в третьем звуке есть физический корень системы, — необходимо мыслить их в том отношении, которое есть их сумма. Но это есть утроенное; стало быть, утроенное есть отношение системы. Под отношением системы разумеется, что в утроенном отношении заключено всё основание гармонической системы; не разумеется, что в нём заключена вся протяжённость гармонической системы. Ибо всё основание системы и вся протяжённость системы суть две разные вещи, как увидится в своём месте. Следствие это ясно и не нуждается в дальнейшем изъяснении.

От этого следствия и от того, что будет прибавлено, зависит разрешение трудности, противопоставленной сделанному мною назначению — данной единицы радиусу, выведенного гармонического среднего 2 диаметру, неопределённого члена x окружности. Повторю возражение. Если окружность гармонична, то две разности — между радиусом, диаметром и окружностью — должны находиться в отношении, равном отношению, образованному двумя крайними, радиусом и окружностью. Но они не таковы и не могут быть таковыми доказательно (причём невозможность определить окружность доказательству нисколько не препятствует). Стало быть, названное приложение ложно.

Уже признаётся, что в отношении к закону разностей — каковые в гармонической пропорции должны находиться между собою в отношении крайних — названное возражение неразрешимо. Но раз речь идёт о первом начале, внутренняя природа которого доныне сокрыта, мы обязаны исследовать, подчинено ли это первое начало, из которого выводятся гармонические законы, тому закону, который от него же происходит, или же само в себе и по внутренней своей природе оно должно рассматриваться иначе. Для такого исследования, которое, будучи последней важности, должно вестись со всею строгостью, необходимо принять лишь те данные, которые либо по факту, либо доказательно достоверны.

Пусть будет первое: что при данном субудвоенном 1, 2, дабы был назначен ему третий гармонический член, не только нельзя его назначить, но даже доказывается невозможность его назначить. Доказательство это общеизвестно. Пусть будет второе: что при данном построении круга раствором циркуля от построения неотделимо удвоенное отношение между радиусом и диаметром. Это по факту. Пусть будет третье: что при данном круге, вписанном в квадрат, эти две фигуры имеют общим удвоенное радикальное отношение (пропозиция первая) в BC, равно полудиаметре круга и стороне квадрата; в AC, равно хорде дуги квадранта и диагонали квадрата. Это равным образом по факту и есть доказательство. Относящиеся сюда следствия очевидны.

Стало быть, в первом данном удвоенное (и соответственно его корни) есть отношение a priori в роде всеобщайшем. Ибо, поскольку ничто не препятствует тому, чтобы при данном 1, 3; при данном 1, 4 и так далее до бесконечности равным образом нельзя было назначить третий гармонический член, доказательная сила всегда падает на удвоенное как на первое отношение многократного ряда 1, 2; 1, 3; 1, 4 и так далее, и как на отношение простое, а не сложное. Ибо 1, 3 есть отношение, сложенное из удвоенного и полуторного, и так до бесконечности. Если бы удвоенное 1, 2 было способно к третьему гармоническому члену, то к нему был бы способен равно весь ряд многократного рода. Стало быть, доказательная сила в удвоенном. Стало быть, во всяком смысле и каким бы то ни было образом это отношение a priori.

Во втором и третьем данном: если круг по сути своей содержит удвоенное отношение в своём построении между радиусом и диаметром; если квадрат по сути содержит в своём построении удвоенное радикальное отношение между диагональю и стороною; если две фигуры сходятся в удвоенном и в произведении, и в корне, — то они должны по сути содержать удвоенную возможность, относящуюся к тому отношению, в каком они сходятся и которое по сути присуще их построению. И эта удвоенная возможность не может и не должна быть ничем иным, как отношением, производящим корни удвоенного радикального отношения BC, AC (пропозиция первая); то есть корни корней удвоенных. Когда это будет доказано (в той мере, в какой возможно в отношении к величинам иррациональным, которые нельзя выразить обыкновенным арифметическим числом иначе как приближением, но которого довольно и более чем довольно для доказательства искомого отношения), — тогда будет не только доказано то, что здесь предлагается, но в то же время доказательно подтвердятся все предшествующие пропозиции настоящей системы.

Итак, пусть будут со всею точностью три члена — радиус, диаметр и окружность. Пусть они выражены числом в трёх положениях — Архимеда, Меция и Кёлена: у Архимеда радиус 7, диаметр 14, окружность около 44; у Меция радиус 113, диаметр 226, окружность около 710; у Кёлена (взяв лишь десять цифр, чтобы избежать бо́льшего труда) радиус 1000000000, диаметр 2000000000, окружность около 6283185307. Из каждого положения пусть выведены разности и просуммированы между собою.

[Числовые выкладки разностей по трём приближениям π — Архимеда, Меция и Кёлена — и суммы этих разностей опущены.]

Спрашивается, в каком отношении находится сумма разностей к члену окружности. Отвечаю, что 37, 44 у Архимеда; 597, 710 у Меция; 5283185307, 6283185307 у Кёлена — все суть корни корней удвоенных; и я это доказываю. [Здесь следуют числовые проверки: каждая пара показывается корнем удвоенного радикального отношения через средние пропорциональные, причём разность в произведении составляет лишь единицу (как 9801 и 9800 и т. п.) — выкладки опущены.]

И когда два члена 37, 44, выведенные из положения Архимеда, сравниваются с тремя положениями корней корней удвоенных, оказывается, что разностное отношение убывает по мере большей точности корней, с которыми их сравнивают. Стало быть — притом что невозможность определить точную величину назначенных корней доказательству нисколько не препятствует, — два члена, выведенные из положения Архимеда, суть корни корней удвоенных, то есть удвоенного радикального отношения. [Соответствующие числовые сравнения опущены.]

Опуская бесполезный труд всех сравнений, пусть будут сравнены два члена, выведенные из положения Кёлена (как ближайшие к истине), с доказанными корнями корней удвоенных (37, 44). [Числовое сравнение опущено; разностное отношение оказывается ещё меньшим.] Стало быть, моя пропозиция доказана. Стало быть, первое гармоническое начало не подпадает под законы гармонических разностей, но подпадает под законы удвоенной возможности, которая есть a priori, — что и надлежало доказать.

Отсюда выходит как следствие, что, выразив настоящую систему удвоенной возможностью и действующим полуторным, определяющим систему, мы находим по разности то отношение, какое есть между диаметром и окружностью. Поясню. Удвоенная возможность суть доказанные корни 37, 44. Прибавим третьим членом полуторное. Будут три члена 37, 44, 66. Но между 37, 44 разность 7; между 44, 66 разность 22, а по доказательству Архимеда диаметр есть 7, окружность около 22. Стало быть, и так далее. [Подобная же проверка на более точных корнях (положение Меция) опущена.]

Но чтобы навсегда исчерпать все трудности, какие можно противопоставить кругу как по сути своей и самому по себе гармоническому, возвращаюсь к первому возражению и повторяю его. Круг не есть и не может быть по сути своей и сам по себе гармоничен. Ибо синусы, которые поистине и единственно свойственны кругу, суть все средние геометрические, то есть средние пропорциональные линии. Стало быть, круг по сути своей и сам по себе геометричен, а не гармоничен. Возражение это разрешено ответом, что круг, отделённый от квадрата, есть ложное предположение в отношении к моей пропозиции, которая полагает неотделимость двух фигур. Но здесь надо разрешить точнее, и из такого разрешения видно будет, какую и сколь великую осторожность должно иногда соблюдать, давая согласие самим доказательствам. Ибо названное возражение есть, конечно, доказательство; и однако, чтобы вполне его разрешить, я говорю, что круг доказывается по сути своей и сам по себе гармоническим именно потому, что синусы, поистине и единственно ему свойственные, суть геометрические; так что, не будь они таковы, круг не был бы и не мог бы никогда быть гармоническим по собственной внутренней своей природе. Суть разрешения состоит, стало быть, не в синусах как доказательно геометрических, а в той причине, по которой они таковы. Говорю, что они таковы потому, что квадрат по собственной внутренней природе арифметичен, а круг по собственной внутренней природе гармоничен. И я это доказываю.

При данных дискретных геометрических пропорциях первой простоты их центр образован двумя средними — гармоническим и арифметическим, — каковые, перемноженные между собою, дают столько же, сколько крайние члены, перемноженные между собою. И потому центр их, рассматриваемый в двух названных средних как неотделимый и соединённый, имеет силу геометрического центра, и в этом отношении пропорция есть геометрическая непрерывная. Рассматриваемый же как отделимый и разделённый, он есть центр дискретной геометрической пропорции; и в этом втором смысле названные пропорции разумеются обыкновенно, и разумеются наилучшим образом.

Положив это, мы доказали во второй пропозиции, что если в круге для рационально разделённого диаметра дан какой-либо синус и затем продолжен до стороны описанного квадрата, то квадрат, выведенный из синуса, есть среднее гармоническое, а квадрат, выведенный из продолженного синуса, есть среднее арифметическое того отношения, в котором разделён диаметр, коль скоро отношение приведено к дискретной геометрической пропорции. Теперь надо посмотреть, какова по сути a priori природа синуса и по какой причине он становится средним геометрическим в отношении к разделённому диаметру. Итак, да будет.

Пропозиция четвёртая. Фигура IV, первая

Когда диаметр AM разделён гармонически на 2, 3, 4 и так далее, выведены синусы и все продолжены до стороны описанного квадрата, — говорю, что, поскольку продолженные синусы равны полудиаметре (раствору циркуля), круг по внутренней своей природе и в силу своей фигуры не делает ничего иного (и ничего иного не может сделать доказательно), как только отнимает у продолженного синуса, то есть у полудиаметра, некую часть линии, — отняв каковую, остаток, то есть синус, остаётся корнем среднего гармонического в отношении к тому же полудиаметру, как корню среднего арифметического, относящихся к дискретным геометрическим пропорциям многократного рода (1, 2; 1, 3; 1, 4 и так далее до бесконечности).

[Числовые примеры дискретных геометрических пропорций для отношений 1 к 2, 1 к 3, 1 к 4 с указанием средних гармонического и арифметического — опущены.] Стало быть, в силу круга от полудиаметра отнята часть линии, по отнятии которой синус круга остаётся корнем среднего гармонического. И поскольку этот синус делит диаметр в удвоенном отношении, круг по внутренней своей природе и в силу своей фигуры сводит в роде природу арифметическую к природе гармонической; а в частности не делает ничего иного, как только отнимает у полудиаметра, то есть у раствора циркуля, такую часть линии, по отнятии которой синус (свойственный кругу) остаётся корнем среднего гармонического в отношении к полудиаметру, как корню среднего арифметического.

Избегая как дела бесполезного доказывать то же на прочих синусах и то же на прочих родах пропорции — сверхчастном, сверхдольном и прочих, — говорю, что в роде всеобщайшем найдётся всегда то же самое; ибо для всеобщайшего доказательства довольно, чтобы диаметр был разделён рационально, хотя доказательство держится и в том случае, когда диаметр разделён иррационально. Оно держится и будет держаться вечно — с тою лишь разницею, что не сможет быть выражено рациональными числами, ибо сведётся к корням корней, что ясно и не нуждается в доказательстве.

Стало быть, если геометры определяют круг как итог бесконечных многоугольников, ибо вписанными и описанными многоугольниками всё ближе приближаются к окружности в бесконечной прогрессии, — то с гораздо бо́льшим основанием и опорой я определяю круг как итог бесконечных гармонических средних, ибо построение его по доказательной необходимости сводит полудиаметр (то есть раствор циркуля) — посредством отнятия разности, какая есть между синусом и продолженным синусом, — к бесконечному ряду гармонических средних. Основание моего определения настолько же надёжно, насколько надёжно данное доказательство. Не надёжно основание геометров, ибо не дано ещё (и никогда не будет дано) доказательства, что многоугольники по факту разрешаются в круг. Будет до бесконечности оставаться разность единицы, которую никогда нельзя будет исчерпать; каковая разность соответствует (в отношении к первым началам) разности единицы, какая есть между средним гармоническим и арифметическим до бесконечности.

Если же эти два средних, гармоническое и арифметическое, по сути соединены между собою в одном члене, то ясно, что этот член будет средним геометрическим, ибо соединит в себе самом свойство и природу, какие порознь имели два разделённых средних; и то свойство, какое, например, имеет дискретная учетверённая геометрическая 10, 16, 25, 40 в двух своих средних (16 гармоническом, 25 арифметическом), перемноженных между собою и дающих столько же, сколько крайние перемноженные, будет иметь непрерывная учетверённая геометрическая 10, 20, 40 в одном члене 20 — среднем геометрическом как крайних 10, 40, так и средних 16, 25. То же самое в точности происходит с синусами в отношении к первым началам вещей. В синусах соединено свойство и природа двух средних, гармонического и арифметического. Свойство и природа среднего арифметического лежат в точке, где начинается синус, — то есть в прямой линии, общей квадрату и кругу, уже доказанной в другом месте арифметическою по первенству природы. А свойство и природа среднего гармонического лежат в точке, где синус кончается, — то есть в круговой линии. В отношении к круговой линии, определяющей гармоническую точку синуса, доказано выше. В отношении к прямой линии, общей раствору циркуля, которая определяет арифметическую точку того же синуса, доказывается с большою лёгкостью. [Краткое геометрическое построение в четвёртой фигуре, переносящее раствор циркуля A2 в равную, но не общую линию NB, — опущено.] Синус, который по своему выведению предполагает диаметр, разделённый на части равные и потому арифметические, есть очевидное доказательство арифметического начала своего выведения. Стало быть, если бы синусы не были в этом смысле геометрическими, то есть заключающими в себе самих свойство и природу среднего арифметического, определяемого общею прямою линией, и свойство и природу среднего гармонического, определяемого круговою линией, — то круг не был бы и не мог бы никогда быть гармоническим по собственной внутренней своей природе; что и надлежало доказать.

Вы, господин граф, подивитесь, что я взял на себя труд доказать мою пропозицию таким образом, чтобы остаться не только убеждённым, но подавленным тяжестью доводов. Сверх того, что эта пропозиция есть главное основание моей системы, благоволите поверить мне, что пропозиция эта сама по себе и независимо от музыкальной системы такой и столь великой важности, что я уверен — нет ей равной во всех известных человеческих науках. Более того, знайте, что здесь я сказал наименьшее из того, что можно сказать; бо́льшее принадлежит другой науке.

Между тем заключено, что круг по сути своей гармоничен; и что доказательное построение его зависит от бесконечного ряда дискретных геометрических пропорций, среднее арифметическое которых выражается продолженным до стороны описанного квадрата синусом (и этот продолженный синус всегда есть полудиаметр, то есть радиус), от какового синуса, в силу круговой линии, отнимается такая часть прямой линии, что остающаяся линия (и это всегда синус круга) находится своим квадратом к квадрату того же продолженного синуса, как среднее гармоническое к среднему арифметическому отношения (всегда приведённого к дискретной геометрической пропорции), в котором тот же продолженный синус разделил диаметр.

Скажу более: если бы возможно было без помощи вписанного круга назначить радикальную линию, производящую в своём квадрате отношение среднего гармонического к соответственному среднему арифметическому, у которого радикальная линия есть продолженный синус, — то доказательно возможно было бы построение круга в силу одной этой линии; и при данном, например (фигура V), квадрате ABCD, бесконечно наполненном прямыми линиями на плоскости, параллельными CB (для примера назначенными в конечном числе), от каждой из них, выведя соответственное среднее гармоническое, образовалась бы круговая линия квадранта BAC, что уже доказано. Но поскольку это невозможно иначе как именно в силу круговой линии, остаётся, следственно, доказанным навсегда, что круговая линия, то есть окружность, есть итог бесконечных гармонических средних в корне. Стало быть, круг по сути своей гармоничен, ибо таков в корне. Стало быть, истинна пропозиция, что 1, 2, x должно приложить к круговой фигуре в силу её природы и построения, и что неопределённый член x есть окружность, каковая с членом 2 образует отношение неопределённое.

Это отношение по существу есть отношение гармоническое трансцендентное, сложенное из утроенного (как основного отношения гармонической системы) и из двух соответственных центров двух отношений, образующих утроенное, то есть удвоенного и полуторного. Сложенные, эти два центра образуют то отношение, неизвестное в своём начале и неназначаемое в точной своей величине, на какое сверх утроенного отношения окружность превышает диаметр, — то есть отношение 21 к почти 22 у Архимеда в отношении к 7 диаметру, утроением которого служит 21; отношение 339 к почти 355 у Меция в отношении к 113 диаметру, утроением которого служит 339, и так далее. Хотя это и не относится к настоящей цели, всё же считаю не лишним дать Вам конкретное понятие об этом начале, дабы Вы знали по науке первые составные части названного отношения и знали по науке непосредственную причину невозможности квадратуры круга. Вещь эта совершенно нова и любопытна, и потому её не должно опускать — тем более что она становится всеобщим доказательством всего доныне доказанного.

В этой главе установлено: удвоенное — отношением в возможности, полуторное — действующим отношением гармонической системы. Затем утроенное — основным отношением, как сумма удвоенного и полуторного. Соответственно, назначив два соответственных центра — центр в возможности удвоенного, центр в действии полуторного, — говорю, что сумма их образует то неизвестное отношение, на какое сверх утроенного окружность превышает диаметр. Центром в возможности удвоенного я называю то отношение иррационального количества, которое в силу дискретных геометрических пропорций (доказанных первым и общим началом круга и квадрата) выводится из центра удвоенных корней, приведённых к дискретной геометрической пропорции; и это 5, 7, уже доказанные в этой главе. Приведённые к дискретной геометрической пропорции, они суть 30, 35, 36, 37, 42. Возьмём отношение, образованное двумя средними (36 арифметическим, 37 контргармоническим), и у этого отношения назначим среднее арифметическое. [Дальнейшие числовые выкладки центра возможности — удвоение 36, 37 в 72, 74 со средним арифметическим 73, и нахождение корней отношения 72 к 73 — опущены.]

[математическая выкладка — опущена]

То отношение, образованное из двух радикальных членов, я называю потенциальным центром, выведенным из центра корней дуплы, — потенциальным отношением Системы; и самим способом его выведения я с доказательной несомненностью убеждён, что именно так его и должно называть, ибо оно образовано из корней корней.

Действительным же центром сесквиальтеры я называю то отношение рациональной величины, которое выведено из центра сесквиальтеры, приведённой к дискретной геометрической пропорции. Два её средних, арифметическое и контргармоническое, образуют действительный центр названного отношения. Оба эти центра должно выводить из соответствующих контргармонических средних, ибо, как было показано и доказано, величина окружности трансцендентна. Стало быть, и соразмерность должна быть природы контргармонической, которая соответствует отрицательной величине Алгебры и по собственной внутренней природе превосходит арифметическую единицу. Центр, относящийся к дупле, пребывает в потенции, ибо такова и сама дупла; он изменчив и неполон, ибо составлен из двух иррациональных членов, которые нельзя выразить арифметическим числом иначе как приближённо. Центр же, относящийся к сесквиальтере, пребывает в действии, ибо такова и сама дупла. Он неизменен и полон, ибо составлен из двух членов рациональных и полных.

Всё это необходимо предпослав, говорю: сила этих двух центров образует приближённо то самое доселе неизвестное отношение, в котором окружность превосходит диаметр сверх тройного отношения; и, выправляя по методу трактата два иррациональных члена первого центра ради всё большего приближения, означенное отношение будет всё ближе подходить к истинной величине бесконечным восхождением.

[математическая выкладка — опущена: проверка на числах Меция 113 : 355 как ближайших к истине, суммирование двух центров]

Поскольку же моё положение не направлено к квадратуре круга, я воздерживаюсь от того, чтобы продвигать его далее — как в отношении разнообразных связей и значений отношения 72 : 73, так и в отношении большей точности его построения и его корней. Замечу лишь, что сумма двух членов означенного отношения есть число 73 — и это контргармоническое среднее отношения 11 : 13, приведённого к дискретной геометрической пропорции. И прошу заметить, что два упомянутых члена, 11 и 13, суть корни корней удвоенных, 5 и 7. Это наблюдение с очевидностью являет истину первого начала в потенции дуплы и необходимость сводить вычисление к контргармоническому среднему.

После всего этого ещё можно усомниться, столь ли уж тройное отношение внутренне присуще кругу, что отделить его от доказанной природы и образования круга невозможно. Но дело слишком ясно в дискретной геометрической пропорции тройного отношения: 2, 3, 4, 6. Было доказано, что диаметр по природе арифметичен, а окружность по природе гармонична. Было доказано, что арифметический центр дуплы есть сесквитерца, и очевидно, что центр назначенной тройной, образованный из остатка двух дупл, пребывает в отношении сесквитерцы. Стало быть, центр, как арифметический, принадлежит диаметру; а то, что принадлежит окружности, как гармонической, не может и не должно быть — со всей математической строгостью — ничем иным, как суммою гармонической тройной, исключая всякое иное среднее, не гармоническое.

[математическая выкладка — опущена]

Вот, стало быть, с очевидностью — неотделимость тройного отношения от круга.

Если же остаётся какая-либо неясность относительно сесквитерцы, образующей центр, то и она легко проясняется геометрическим доказательством, в силу которого не только обнаруживается истина названного центра, но и сверх того видна необходимость контргармонического вычисления.

[математическая выкладка с геометрической фигурой — опущена: построение через раствор циркуля CA, прибавление контргармонического среднего, вывод отношения 14 к 11, то есть описанного квадрата к вписанному кругу]

Скажу Вам ещё, что, если дать дискретную геометрическую тройную со всеми тремя её средними в виде 2, 3, 4, 5, 6 и свести пять членов к сумме означенным образом, Вы обнаружите, что два члена 5, 7 суть корни дуплы; 9, 11 — корни сесквиальтеры; а 7, 9 — некое среднее арифметическое отношение между двумя крайними отношениями.

[математическая выкладка — опущена: приближение членов умножением на 14, вывод точнейших удвоенных корней 70 и 99; отношение 11 к 14, то есть вписанного круга к описанному квадрату, заключённое в тройной]

Вот каким образом отношение круга к квадрату содержится в тройной.

[математическая выкладка — опущена: вывод позиции Меция 226 (вписанный квадрат) к 355 (описанный круг) простою суммою двух выведенных средних — без многоугольников]

Так объяснена контргармоническая природа в числе 119, выведенном из двух средних, арифметического и контргармонического, относительно отношения 7, 9, и подтверждён сесквитерцевый центр относительно сесквитерцы.

[математическая выкладка — опущена: из общего среднего члена 56 выводятся числа Кёйлена; приняв за диаметр контргармоническое среднее 100, а за окружность — сумму гармонической тройной, прибавив член в отношении 50 к 51, Тартини получает отношение Архимеда 7 : 22 и отношение Кёйлена 10000000 к 3141926…]

Я имел терпение довести вычисление до восьми знаков. Результат таков:

[нотный пример / числовая таблица: диаметр 100000000, сумма 31415923…, у Кёйлена 314159205]

После таких доказательств не подумайте, любезный Граф, будто я в силу моей системы притязаю подступиться к квадратуре круга. Я притязаю как раз на обратное — доказать невозможность квадратуры круга именно в силу моей системы. Корень невозможности — в точке B четвёртой фигуры, как в точке, общей прямой и кривой.

[математическая выкладка с фигурой — опущена: при гармоническом делении диаметра круг по собственной природе лишь отнимает у продлённого синуса — то есть у полудиаметра — ту часть линии, остаток которой, синус, оказывается корнем гармонического среднего по отношению к полудиаметру как корню арифметического среднего; общая точка B бесконечного ряда не остаётся общей в продолжении, но действительно разделяется]

Стало быть, в точке B соединяются два отношения — среднего гармонического и среднего арифметического; и эти два отношения столь же действительны, сколь действительно разделение двух средних в продолжении ряда, и сколь действительно начало четырёх членов, то есть двух крайних и двух средних, в одном и том же ряду, идущем в бесконечность через два крайних и два средних действительных. Вывод очевиден. Чтобы его отрицать, надобно отрицать всё. Но это невозможно. Стало быть, и так далее.

Сказав это, утверждаю невозможность квадратуры круга относительно идеи, способа и общеизвестных наук о величине. Если круговая линия в своём первоначале, то есть в точке, поистине отделена от прямой линии, — то как же притязать свести круговую линию к прямой, не притязая тем самым на невозможное? Если природа гармонической величины поистине отлична и отделена от природы арифметической величины, — то как же изменить одну природу в другую, коль скоро они в своём первоначале остаются теми же? И здесь, в отношении известных наук о величине, навсегда заканчивается изыскание квадратуры круга.

Вот, любезный Граф, что в этих двух первых главах я положил перед Вашими очами как образец науки физико-гармонической, из коего Вам надлежит вывести верную идею, чтобы перенести её затем на Музыку в следующих главах. Я распространился и отклонился весьма далеко в этой второй главе на предметы, вовсе не необходимые для Музыкальной системы; но я почёл за благо изложить Вам существо, способ и метод этой науки во многих и разных видах, дабы из собрания различных частных мыслей Ваш ум составил себе самую полную и всеобщую идею, какая только возможна, — как ради собственного Вашего удовольствия, так и ради нынешней нужды. Но как бы то ни было, придётся Вам удовольствоваться этою — поистине ничтожною, как я её называю, — долею, которую, по моему суждению, я полагаю достаточной.

Вы же тем временем поразмыслите вот над чем: хотя эта наука, как доказательная, имеет свои особые и отличные вычисления (доказательством тому — краткий предпосланный трактат, который к тому же есть наименьшее из вычислений, этой науке свойственных), тем не менее по мере надобности она пользуется любой иной наукой о величине, но особливо — Геометрией, с которой согласуется в особенности и в положениях, и в предложениях, и в методе, что до доказательного рода. Так и должно быть, ибо круг общ обеим этим наукам по роду, хотя по виду — более того, в точности — принадлежит науке гармонической. Существенное же различие между этими двумя науками в том, что наука геометрическая полагает доказательство своею целью, а наука гармоническая — своим средством. Цель этой науки есть изыскание причины, по которой доказанная вещь такова, какова она есть; и потому ясно, что различие существенно. Тем более, что сверх рода доказательного она объемлет и род физический таким образом, что отделить один род от другого невозможно. Вы видели это доселе и будете видеть до самого конца.

Глава III. О музыкальной системе

О консонансах, диссонансах, их природе и определении.

Если круг сам по себе и по своей внутренней природе гармоничен, — то и диаметр сам по себе и по своей внутренней природе должен быть разделён гармонически. Вывод законен и есть следствие всего доказанного. Однако замечу, что я отнюдь не намерен предписывать пределов употреблению круговой фигуры, без которой Геометрия — наука величайшей пользы и важности — либо вовсе не существовала бы, либо была бы несовершеннейшею. Круг столь един в себе самом, что отвечает всякой идее и всякому употреблению наук о величине, кои все по необходимости должны иметь своим началом единицу в разных отношениях. Я намерен лишь — будучи связан тем справедливым законом, что я положил себе изначально, — со всею строгостью следовать его физической и доказательной природе настолько, насколько она меня ведёт, не присваивая себе никакой вольности; а уж чем бы круг ни был в отношении прочих наук, — за всеми ними остаётся своё место и своё употребление. Если диаметр должно делить гармонически, ибо круг сам по себе гармоничен, — то систему надлежит образовывать не в диаметре, а в хордах, дополнениях и синусах, выведенных из гармонически разделённого диаметра как необходимо принадлежащих кругу; и именно в таком положении должна обнаружиться вся всеобщая система. А коль скоро вся всеобщая система, — то по виду, сообразно хордам, дополнениям и синусам, система гармоническая, арифметическая, геометрическая; консонансы и диссонансы; их природа, употребление и истинное определение. Говорю — истинное, ибо доселе общепринятое определение, будто консонансы суть нечто приятное для слуха, а диссонансы — нечто неприятное, есть всё что угодно, только не определение.

Но прежде чем продолжить, необходимо точное изъяснение настоящей системы, относительно которой могут возникнуть два важных затруднения; и я устрою так, чтобы изложение и разрешение оных послужило к прояснению самой системы.

Первое затруднение таково. В диаметре — как в простой прямой линии, гармонически разделённой, — выведя квадраты дроби, соответствующего остатка и синуса (квадрат коего образуется умножением дроби на остаток), мы имеем предварительно то же самое, что после имеем в квадратах хорды, дополнения и синуса, выведенных из данного деления. Стало быть, не видно той необходимой причины, по которой всё, что можно получить в простой прямой линии, должно переноситься на круговую фигуру. Отвечаю: что до настоящей системы, физически доказанной из явлений как гармонической по преимуществу, — причина необходима и есть даже очевиднейшее доказательство уже доказанной гармонической природы круговой фигуры.

[математическая выкладка с фигурой — опущена: при делении диаметра на 3 и синусом в отношении 1 : 2 непрерывная геометрическая четверная 1, 2, 4 на диаметре превращается, будучи перенесена на круг, в гармоническую тройную, ибо квадрат дополнения становится 6, хорды 3, синуса 2]

Та пропорция, которая в диаметре геометрическая, в круге обращается в гармоническую. Синус же в особенности, который в диаметре есть среднее геометрическое, в круге обращается в крайнее гармоническое. Вот разрешено первое затруднение, подтверждена гармоничность круговой фигуры и доказана необходимость переносить на круг всякое действие, совершаемое над диаметром, что до настоящей физико-гармонической системы.

Второе затруднение таково. В силу некоего отвлечённого начала, независимого от линий и фигур, всякая пропорция выражается в общем виде. В частности же и в точности пропорции, означенные музыкальными нотами, приложенными к седьмой фигуре, — в коих заключена вся система, — разрешаются в это начало через дроби.

[математическая выкладка — опущена: разложение примеров через ряды 1, 2, 3, 4, 5, 6 и через сложные отношения 4, 9, 16, 25, 36]

Стало быть, бесполезно сведение к кругу той системы, которая получается из иного, первого и независимого начала.

Отвечаю: когда настоящая система понята верно, это затруднение не имеет места. Система по существу основана на трёх природах величины — гармонической, арифметической, геометрической. В настоящей главе станет очевидным выведение частной системы из каждого рода и всеобщей — из трёх названных родов величины. Поэтому доказательно должна быть известна частная природа каждого члена, составляющего пропорции, в смысле столь строгом, что для нужды дела вовсе не довольно знать лишь отвлечённо, какова и какого рода пропорция. Пусть примером послужит гармоническая тройная, выраженная, как выше, в виде 3, 6, 9. В этом выражении мы будем, конечно, иметь знание пропорции, но будем далеко отстоять от того, чтобы произвести знание, относящееся к настоящей системе. Ибо чтобы иметь такое знание, существенно необходимо знать, что член 3 сам по себе гармоничен; что член 6 — в двух отношениях: в первом он арифметичен, как сумма единиц; во втором гармоничен, как среднее гармоническое дуплы; что член 9 — в четырёх отношениях: в первом он среднее геометрическое дуплы; во втором крайнее гармоническое тройной; в третьем крайнее геометрическое непрерывной сесквиальтеры; в четвёртом должен обратиться в 4. И этого мало. Необходимо знать частную природу отношений, составляющих каждую систему; причину и способ, по которым один род величины обращается в иной род; определённый предел каждой частной системы, порядок, связь, итог соединения систем и так далее. Всё это — и многое сверх того в таком смысле и виде — обнаружится в настоящей главе и в остальной части Трактата как по существу необходимое для устроения той самой науки Гармонии, которую я в заглавии Трактата с полным правом именую истинною наукой постольку, поскольку для её цельного устроения не довольно одной лишь науки пропорций.

Таков дух и существо системы; и если я требую, чтобы, к примеру, в выражении отвлечённой гармонической пропорции 3, 6, 9 были доказаны три разные природы величины, а в частности из четырёх отношений третьего члена, 9, были доказаны два — гармоническое и геометрическое, как относящиеся к двум разным отношениям, зависящим от одного-единственного положения, — то несомненно, что для такого доказательства необходимо в точности принять мою фигуру, мои данные и моё тождественное положение как первое начало. Стало быть, когда система понята верно, не только предложенное затруднение не имеет места, но и вовсе обращается по необходимости в довод в мою пользу. А что затем, по образовании всеобщей системы из трёх выведенных частных систем — гармонической, арифметической, геометрической, — по установлении знания и закона каждой частной системы и всеобщей, образ этого знания и этого закона может быть выражен дробями, — в том нет никакого сомнения. Вот, стало быть, законное изъяснение затруднения. Рассматривая, с одной стороны, отвлечённое начало дробей как знание пропорции, а с другой — гармоническое деление диаметра в седьмой фигуре, перенос соответствующих отношений на круг, и не более того, — несомненно, что в этом смысле отвлечённое начало есть образец, а круг — образ этого образца. В таком смысле я и сам пользуюсь этим началом в первой главе, дабы изложить явления, кои я, конечно, не мог бы счесть гармоническими, не будь мне заранее известно это отвлечённое начало. Но коль скоро доказано, что круг гармоничен, более того — есть гармонический корень по внутренней природе, и потому по необходимости рассматривается как доказательное начало, гармоническое само по себе и первое в изложенном выше смысле, — который и есть законный, и которому со всею строгостью будет соответствовать настоящая глава и весь Трактат, — то столь же несомненно, что круг в седьмой фигуре есть образец; всякая же пропорция, выведенная из означенной фигуры и каким бы то ни было образом выраженная, есть образ. А что круг в отношении гармонической системы есть доказательное начало, первое само по себе; что в этом отношении отвлечённое начало дробей не есть ни первое, ни отвлечённое, но имеет в круге своё начало и свои корни, — это я доказываю, и для того да послужит седьмая фигура.

Предпосылаю как общеизвестное, что от грузов, прилаженных к звучащей висячей струне по ряду квадратов 1, 4, 9 и так далее, получаются звуки, унисонные — то есть равные — звукам звучащей струны, натянутой на монохорде и разделённой дробями на 1/2, 1/3, 1/4 и так далее. Если струну, натянутую под звук первого груза, сделать унисонной, то звук, выведенный от груза 4, будет унисонен звуку струны 1/2, выведенный от груза 9 — звуку струны 1/3 и так далее. Не знаю, известно ли далее, что в диаметре AM из центра A, проведённого через круг — B в b, C в c, D в d и так далее, — звуки, выведенные от каждого груза по арифметическому ряду 1, 2, 3, 4 и так далее, равны звукам ряда AM, Ab, Ac, Ad и так далее, мыслимых как звучащие линии.

[математическая выкладка — опущена: хорда AD, выведенная из 1/4 диаметра, равна 1/2 диаметра; звук второго груза есть среднее пропорциональное между звуками первого и четвёртого, как 2 между 1 и 4; и так далее]

Это предпослав, две вещи доказательно несомненны. Первая — что лишь в одной гармонической системе обретается единственный действительный ряд, заключающий в себе две величины разной природы, иррациональную и рациональную, доселе почитавшиеся несовместимыми в одном и том же ряду. Дело ясно, ибо звуки квадратных чисел грузов рациональны, а промежуточных чисел 2, 3 — иррациональны. И те и другие, однако, пребывают в ряду. Стало быть, и так далее. Вторая — что эти два ряда, равные по звукам, суть корни гармонические. Равно ясно, ибо

[математическая выкладка — опущена: Ab, Ac, Ad суть корни звуков грузов 2, 3, 4; в гармонической физической и доказательной системе дроби 1/2, 1/3, 1/4 пребывают в произведении, а линии AM, Ab, Ac — в корне]

Но это и суть хорды круга. Стало быть, перенося гармоническую систему на круг, мы не делаем ничего иного, как переносим её к её первому корневому началу, в котором рядом заключены величины иррациональные и рациональные, а в них — весь бесконечный ряд дробей, который в гармонической системе действительно зависит от этого начала; и тому ничуть не препятствует, что в музыкальной практике нет никакого употребления иррациональных величин, — напротив, в высшей степени важно знать корневое и действительное начало системы. Воздерживаюсь же продвигать это положение в отношении грузов, в силу которых и физически, и доказательно возможно сведение прямой физической упругой линии к физической круговой линии посредством звучащих струн, прилаженных по известному закону и соотнесённых с хордами круга. Сказанного, полагаю, довольно для изъяснения системы, и потому возвращаюсь к первому следствию.

Если диаметр должно делить гармонически, если диаметр способен делиться до бесконечности гармонической прогрессией, и если о бесконечном нет и не может быть науки, — то необходимо доказать пределы деления, коими определяется период, или завершение, означенного деления, и вследствие того образуется и определяется гармоническая Музыкальная система. На практике сходятся в том, что этот период, или завершение, лежит в шестерной 1, 2, 3, 4, 5, 6; и Царлино о числе шестеричном сказал вещи прекрасные и многие, но ничего не заключающие. Словом, так на практике сходятся, но недостаёт главного — доказательства, доселе неведомого. Каким бы образом оно ни было назначаемо, несомненно, что оно должно быть внутренне выведено из основного начала системы. Основное же начало физико-гармонической системы есть дупла a priori. Стало быть, из дуплы как из основного начала и должно вывести означенное доказательство. И в самом деле, вывести его из иного начала невозможно, и я искренне Вам признаюсь, что напрасно пытался сделать это в течение многих лет, — доказательство внешнее, но в то же время очевидное истины и связности настоящей системы. И потому я с основанием полагаю, что доселе доказательство оставалось неведомым именно потому, что существует лишь один-единственный способ его назначить, и способ этот зависит от полного познания системы: коль скоро система неведома, неведомым по необходимости оставался и способ, а вследствие того и доказательство. Итак, да будет следующее предложение, в котором сверх того, что предлагается доказать, кстати приходится и доказательное физическое указание на начало третьего тона.

Предложение пятое. Фигура VI.

Пусть диаметр AM будет гармонически разделён вплоть до 1/6. Образуется гармоническая шестерная в виде 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6. Пусть синусами круга будут 2B, 3C, 4D, 5E, 6F; продлёнными синусами — 2b, 3c, 4d, 5e, 6f; соответствующими хордами круга — AB, AC, AD, AE, AF; а гипотенузами соответствующих треугольников, выведенных из квадрата, — Ab, Ac, Ad, Ae, Af. Прежде всего пусть соответствующие квадраты синусов и продлённых синусов (доказанных как соответствующие средние гармонические и арифметические) будут приведены к общему разряду числа и ряда.

[математическая выкладка / числовая таблица — опущена: при диаметре AM = 120 квадраты крайних, средних гармонических, средних арифметических — 2400, 3200, 3600, 4800, … — приведены к общему ряду; принимается доказанным, что AB есть среднее пропорциональное между диаметром AM и полудиаметром, отчего сумма квадратов крайних всегда равна квадрату AB = 7200 в силу прямоугольных треугольников с постоянной общей гипотенузой Ab]

Заметьте и отметьте, что начало a priori вышеизложенного ряда есть гармоническая прогрессия с суммированными разностями:

[нотный пример / числовая таблица: гармоническая прогрессия 60, 30, 20, 15, 12, 10; разности 30, 10, 5, 3, 2]

Исключив дуплу 60, 30 как начало a priori, из коего физически нельзя получить третьего тона, действительным конкретным физическим началом третьего тона остаётся (как уже сказано в другом месте) отношение сесквиальтеры 30, 20. В разностях же конкретное начало есть первый член 30, к которому, прибавляя второй член 10, получим 40; прибавляя третий член 5, получим 45; прибавляя четвёртый член 3, получим 48; прибавляя пятый член 2, получим 50.

[математическая выкладка — опущена: ряд гармонической прогрессии (без первого члена 60) относится к ряду суммированных разностей как кратная 1 к 1, 1 к 2, 1 к 3 и так далее]

И потому, как у вышеназванных треугольников общая гипотенуза есть AB, корень из 7200, так и у треугольников, выведенных из этого ряда 20, 40; 15, 45 и так далее, общею гипотенузой будет корень из 60.

[математическая выкладка — опущена: удвоение ряда и умножение на 60 даёт ряд отношений 2400, 4800; 1800, 5400 и так далее, равный ряду, выведенному из гармонической прогрессии и суммированных разностей; равны и две соответствующие гипотенузы — корень из 7200 и корень из 60 — чем в AB доказана линия, на которой основана кратная прогрессия продлённых синусов]

Сверх того, в AB доказана общая гипотенуза треугольников, составленных в своих сторонах из ряда гармонического и из ряда суммированных гармонических разностей. Общеизвестно, что эти свойства неотделимы от гармонического деления диаметра, и в том нет ничего нового. Но нов будет ход и заключение. Ибо, дано в круге, с одной стороны, какой угодно синус (лишь бы рациональный и не в дупле с диаметром) и сообразно ему продлённый синус, — отношение, заключающее два средних, образованных из двух квадратов синуса и продлённого синуса, оказывается постоянным до бесконечности в квадрате AB, равно как постоянна до бесконечности гипотенуза треугольников, выведенных из того же отношения, заключающего два средних; и это происходит постольку, поскольку AB есть корень из 2, и поскольку отношение, проистекающее из двух средних, проистекает a priori из гармонической прогрессии и из суммированных гармонических разностей. Дано же, с другой стороны, два звука (любые, по произволу, лишь бы рациональные и не в дупле), — обретается третий тон, постоянный до бесконечности, — член 2, коего корень есть AB; и как квадрат AB есть итог квадратов двух сторон, образующих соответствующий треугольник, так и третий тон есть итог физический, звуковой двух данных звуков; и как всё это происходит в AB в силу гармонической прогрессии, так всё это происходит и в третьем тоне в силу гармонической прогрессии. Стало быть, начало едино, каков бы ни был физический способ третьего тона.

Но все названные свойства проистекают доказательно в AB в силу Круговой фигуры. Так и в третьем тоне те же свойства проистекают физически в силу сферической фигуры, неотделимой от соответствующего объёма воздуха, приводимого в движение звучащей струной; а сфера в теле есть круг на плоскости. Стало быть, подтверждается то же начало и та же общая причина в теле и на плоскости, каков бы ни был в теле физический способ действия. Я хочу сказать, что, поскольку ничего не значит физический способ, которым производится этот третий тон, но значит лишь то, что причина названных свойств в теле и на плоскости одна и та же — то есть корень гармонической прогрессии, — постольку я заключаю, что открыл и установил в числе 2 тождество гармонического корня в теле и на плоскости: ибо нелепо, чтобы у одной и той же тождественной прогрессии могло быть два разных корня, хотя бы и разнился разряд. Да будет это, во всяком случае, прибытком такого заключения (что немало), достигнутым в ходе, предпринятом главным образом ради того, чтобы назначить доказательство физико-гармонической системы как определённой в её цельном протяжении до шестерной. К этому доказательству и приступим теперь на той же фигуре VI и тем же ходом.

Предложение шестое. Фигура VI.

Во-вторых, из синусов 2B, 2C, 2D и так далее, выведя хорды AB, AC, AD и так далее, и из продлённых синусов 2b, 2c, 2d и так далее, выведя гипотенузы Ab, Ac, Ad и так далее, пусть будут выведены соответственно квадраты хорд и гипотенуз и приведены к общему разряду величины.

[математическая выкладка / числовая таблица — опущена: при диаметре AM = 120 квадраты хорд AB 7200, AC 4800, AD 3600, AE 2880, AF 2400 и квадраты гипотенуз Ab 7200, Ac 5200, Ad 4500, Ae 4176, Af 4000; их сопоставление даёт отношения 12 к 13, 4 к 5, 20 к 29, 3 к 5 — то есть средние гармонические и контргармонические сесквиальтеры, дуплы и тройной геометрических дискретных]

Стало быть, относительно квадратов хорд, принадлежащих кругу, и квадратов гипотенуз, принадлежащих квадрату, описанный квадрат обнаруживается природы контргармонической, а вписанный круг подтверждается природы гармонической. И это в общем. В частности же крайние этого положения не сходятся и не могут сойтись в сумме, ибо вычисление сведено к контргармоническому среднему. Но коль скоро это ничуть не препятствует намерению,

[математическая выкладка / числовая таблица — опущена: суммы крайних 10000, 8100, 7056, 6400, имеющие квадратные корни 100, 90, 84, 80; а сумма 14400 имеет корнем 120, что и есть диаметр AM]

Стало быть, корневое начало корневой прогрессии 100, 90, 84, 80 (все квадратные корни) пребывает в диаметре AM как 120.

[математическая выкладка — опущена: вычитая из диаметра AM соответствующие отношения — сесквиквинту (120 : 100), сесквитерцу (120 : 90), супер-3-парциальную-7 (120 : 84), сесквиальтеру (120 : 80), — получают линии 100, 90, 84, 80 как гипотенузы треугольников, в сторонах коих лежат корни соответствующих отношений]

Стало быть, в диаметре AM, уменьшенном на ряд означенных отношений, доказана линия, на которой основано второе положение, выведенное из средних гармонических и контргармонических в одном и том же разряде величины.

Теперь надлежит увидеть, что значит и что доказывает корневой ряд 120, 100, 90, 84, 80. Значение и доказательство очевидны. Этот ряд выведен из диаметра, разделённого на гармоническую шестерную 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 — не более, ибо это дошло бы до 1/7, и не менее, ибо это дошло бы до 1/5; а диаметр по доказательной необходимости вычисления есть 120, и, следственно, полудиаметр — 60.

[математическая выкладка — опущена: приведя 120 и 60 к дискретной геометрической пропорции со всеми средними — контргармоническим 100, арифметическим 90, геометрическим 84, гармоническим 80, — получают 120, 100, 90, 84, 80, 60, то есть дискретную геометрическую дуплу со всеми её средними; четыре средних суть соответствующие центры дуплы]

И в назначении всех средних как центров вполне и внутренне исчерпывается отношение дуплы сообразно диаметру, разделённому до гармонической шестерной, так что как диаметру 120, первому члену, соответствует 14400, первая сумма, так и гармоническому среднему 80, последнему среднему, соответствует 6400, последняя сумма отношений, выведенных из гармонической шестерной. Стало быть, в шестерной доказан период, или завершение, цельного протяжения физико-гармонической системы: не более и не менее; ибо сообразно сему вполне и внутренне исчерпано отношение дуплы, которое в общем есть всеобщее начало гармонической системы, а в частности и в точности — квадратный корень ряда, выведенного из гармонической шестерной и в шестерной исчерпанного.

Отсюда следует, что, продолжая деление диаметра до 1/7, которое непосредственно следует за 1/6, и выводя сообразно квадратный корень, выведенный член немедленно разрушает консонантную систему и обращает её в систему геометрическую непрерывную, которая, как будет видно в настоящей главе, и есть система диссонансов, то есть противоположное консонантной системе. Вот доказательство.

[математическая выкладка — опущена: умножая на 7 члены 120, 100, 84, 80, получают 840, 700, 630, 588, 560; а 540 — член, выведенный из 7 и добавленный к ряду квадратных корней]

Из всего ряда основанием — и как диаметр, и как главный член отношения дуплы, который в гармонии соответствует Основному басу, — служит 840. И несомненно, что 840, соединённое с 700, образует сесквиквинту; соединённое с 630 — сесквитерцу; соединённое с 588 — супер-3-парциальную-7; соединённое с 560 — сесквиальтеру, и определяет дуплу 840, 420 как консонантную систему — арифметическую, геометрическую (разумей всегда геометрическую настоящей системы, а никак не непрерывную геометрическую) и гармоническую. Но 840, соединённое с 540, образует геометрическое непрерывное отношение, составленное из двух сесквикварт, или, на практике, из двух больших терций; ибо, сравнивая геометрическую форму 16, 25 с проистекшею 840, 540, которая в первых числах есть 14, 9, разность столь ничтожна относительно гармонической системы, что неоспорим итог двух непрерывных больших терций. Стало быть, предполагая то, что будет доказано в настоящей главе, — а именно что из геометрической непрерывной пропорции как из первого начала проистекает диссонантная система, — доказано, что добавленный член 540 разрушает две консонантные системы, гармоническую и арифметическую, и обращает их в систему диссонантную, ей противоположную. Стало быть, завершение консонантной системы — в члене 560. Стало быть, оно в шестерной, относительно четырёх средних дуплы в общем и среднего гармонического в частности и в точности.

После основания назначенного доказательства может послужить доказательным указанием на установленное и вписанный в круг квадрат. Обнаружится, что синус, выведенный из 1/6, заключён во вписанном квадрате; если же выводить из 1/7, продолжая деление от шестерной к семерной, он будет исключён из вписанного квадрата. Но вписанный к описанному пребывает в отношении дуплы. Стало быть, относительно двух названных фигур гармоническая шестерная заключена в дупле, а гармоническая семерная исключена. Равно послужит физическим указанием того же и струна, разделённая на три звука 1, 1/3, 1/5. Если 1/3, 1/5 суть средние гармонические (а они таковы), то по необходимости они предполагают шестерную: ибо 1/5 не может быть средним гармоническим иначе как при предположении 1/4, 1/6.

Если, стало быть, цельное протяжение гармонической системы определяется гармонической шестерной, то и вся музыкальная система должна заключаться внутри самой шестерной. Так со всею строгостью доселе и шло дело, так должно идти до самого конца. Да будет, стало быть, седьмая фигура, к которой да присоединена будет фигура музыкальная.

Фигура VII, соединённая с музыкальными примерами 1, 2, 3, 4. — В этой фигуре прежде всего изложена гармоническая шестерная в диаметре AM, разделённом дробями на 2, 3, 4, 5, 6.

[математическая выкладка — опущена: при AM = 60 части суть A2 = 30, A3 = 20, A4 = 15, A5 = 12, A6 = 10]

Стало быть, если положить диаметр AM звучащей линией, относительные звуки будут тождественны звукам, изложенным в музыкальном примере 1.

[нотный пример]

Во-вторых, в общий разряд величины приведены отношения, образованные квадратами диаметра AM и струн AB, AC, AD, AE, AF. Равно приведены отношения, образованные квадратами дополнений MB, MC, MD, ME, MF, и отношения, образованные квадратами синусов 2B, 3C, 4D, 5E, 6F.

[математическая выкладка / числовые таблицы — опущены: квадраты диаметра и струн (AM 3600, AB 1800, AC 1200, AD 900, AE 720, AF 600); квадраты дополнений (MB 1800, MC 2400, MD 2700, ME 2880, MF 3000); квадраты синусов]

Отношениям, образованным квадратами диаметра и струн, равны отношения музыкального примера 2 (гармоническая шестерная, как выше). Отношениям, образованным квадратами дополнений, равны отношения музыкального примера 3. Отношениям, образованным квадратами синусов, равны отношения музыкального примера 4. И как все соответствующие квадраты пребывают в общем разряде величины, так и соответствующие музыкальные примеры со всею строгостью пребывают в общем разряде музыкальных нот; а потому, положив C-sol-fa-ut самою низкою нотою всех примеров (3600), все прочие ноты тождественно соответствуют числам, надписанным выше сообразно примеру.

Теперь должно рассмотреть этот образец в каждом из частных примеров. Первый и второй примеры тождественны; и хотя ничего иного они не содержат, кроме гармонической шестерной как цельной протяжённости системы, всё же многое надлежит здесь рассмотреть и установить в силу свойств и следствий такого положения. Всеобщее физическое свойство есть третий звук, неотделимый от системы, для которой он — гармонический корень. Итак, C-sol-fa-ut (1800), октава самого низкого C-sol-fa-ut (3600), будет тем третьим звуком (в корне ½), который воспоследует от означенных музыкальных нот, взятых не только попарно одна за другою, но и всех вместе.

[нотный пример: верхний ряд нот — «Третий звук» / «Звук»]

И не только когда они взяты все вместе в доказательном порядке гармонической прогрессии — так, чтобы члены, составляющие гармоническую шестерную, 2, 3, 4, 5, 6, были изложены все сполна и в строгом порядке гармонической прогрессии, — но и взяты сколь угодно вольно: изложишь ли ты все члены шестерной сполна, или любую их часть по произволу; изложишь ли их в строгом порядке прогрессии, или в порядке ином, — лишь бы всё содержалось в гармонической шестерной. Причина очевидна, ибо она физическая. Если третий звук, постоянный в ½, есть физико-гармонический корень, и этот третий звук ½ равно получается и от целого, и от частей гармонической шестерной, как бы они ни были расположены, — то по физической необходимости и должно разуметь музыкальную систему изложенным образом. Правда, от шестерной, расположенной гармонически сполна, в музыкальном итоге получится наилучшее действие; и от любой её части, расположенной в гармонической пропорции, получится действие лучшее, нежели от той же части, расположенной иначе. Более того, в этом — первый практический музыкальный Канон: чтобы поющие и играющие голоса располагались между собою сколь возможно ближе к гармонической пропорции.

Всё это истинно по той причине, что такова природа гармонической системы в её образующем начале; а начало это тем совершеннее, чем оно проще, ибо есть начало единства, и это единство сполна образуется шестерною, внутренне же — гармонической пропорцией. Но как любая часть шестерной, и как бы она ни была расположена, есть не только цельная часть этого единства, но сверх того имеет в третьем звуке тот же физико-гармонический корень, что и само единство, которое есть её целое, — так и должно установить, что означенным образом и надлежит разуметь музыкальную систему.

Из этого установленного закона рождается как следствие второй практический музыкальный Канон, который кажется закону противным. Но это не так — напротив, он его подтверждает. Канон таков: чтобы в цельных частях гармонической шестерной 1, 2, 3, 4, 5, 6 не полагались вместе три члена 1, 2, 4, хотя они и содержатся в шестерной. Причина и здесь очевидна, ибо физическая. Если третий звук есть физический корень гармонической системы, то физически невозможно, чтобы эти три члена 1, 2, 4 могли соответствовать гармонической системе, ибо они суть две дуплы. Дупла же, как первое потенциальное начало, не имеет и не может иметь физического корня, а потому не производит и не может произвести третий звук. Стало быть, в двух означенных дуплах нет и не может быть ничего, кроме потенциального начала гармонии, — но никогда гармонии действительной и определённой. Возможны, стало быть, в трёх членах сочетания 1, 3, 4; 2, 5, 6; 3, 4, 5 и проч., ибо от всех получится гармония определённая. Противно же будет сочетание 1, 2, 4, ибо от него не получается ничего, кроме начала гармонии. Прибавь к тому, что из геометрической непрерывной пропорции a priori проистекают диссонансы, как вскоре будет видно; а означенные три члена пребывают в геометрической непрерывной пропорции. Стало быть, хотя и невозможно, чтобы дупла гармонической системы каким бы то ни было образом могла стать действительным диссонансом, всё же ясна её неуместность, когда она располагается в той самой пропорции, из которой проистекают действительные диссонансы.

Из установленного доселе рождается множество исследований, относящихся к практической идее музыкальной системы. Первое исследование рождается из того, как здесь разумеется шестерная, определённая цельною протяжённостью гармонической системы. Несомненно, что на практике — и в музыкальных сочинениях, и в физической протяжённости вокальной музыки, а ещё более музыки инструментальной — шестерная далеко превосходится в пределах низкого и высокого. Ибо инструментальная музыка (применительно к инструментам общего употребления) обнимает по крайней мере пять октав; вокальная же музыка (в естественном состоянии человеческих голосов, мужского и женского) — приблизительно четыре октавы. А потому на практике пределы низкого и высокого далеко превосходят шестерную, которая в своей цельной протяжённости содержит не более двух октав и квинты. Всё это истинно, но системе не противоречит. То, что сверх установленной шестерной на практике употребляется в низком, а ещё более в высоком, по существу есть не что иное, как члены шестерной, повторённые через дуплу, или октаву, вниз и вверх. Например, последний член шестерной в высоком есть 6, то есть G-sol-re-ut, последняя нота первого и второго музыкальных примеров. На практике же в голосе или в звуке услышится 12, то есть высокая октава того же G-sol-re-ut. По существу это 6, чья дупла есть 12; и так всё соответственно. Но физически и доказательно будет невозможно прибавить к системе-шестерной — в низком ли, в высоком ли — какой бы то ни было член, который не был бы выведен через дуплу из члена, составляющего шестерную. Отсюда рождается третий музыкальный Канон, а именно: что гармоническую шестерную, цельную протяжённость системы, можно расширять в низком и высоком, умножая через дуплу члены, составляющие шестерную.

Второе исследование рождается из того, как должно мыслить настоящую систему: а именно как некое целое, мыслимое как цельное единство и как единство первое, в котором не части составляют целое, но целое разделяется на свои части. И лучше всего разуметь это применительно к системе (что с очевидностью обнаружится в настоящей главе), всегда обращаясь мыслью к звучащей струне, натянутой на монохорде, от удара которой получаются три звука 1, ⅓, ⅕. Эта струна, которая есть целое и первое цельное единство, сама собою разделяется гармонически на свои части ⅓, ⅕, что суть два звука согласия сверх самого низкого звука целой струны. Несомненно, что доселе практическая музыкальная система так не мыслилась, — напротив, мыслилась обратно. Ибо прежде устанавливали интервалы системы, то есть октаву, квинту, две терции, большую и малую, и две сексты, большую и малую. Опускаю кварту, ибо относительно этого интервала всегда было разногласие во мнениях: одни хотели видеть в нём консонанс, другие — диссонанс; но об этом в своём месте. Эти интервалы называли консонансами, каждый сам по себе: октаву (которая есть дупла) — совершенным консонансом; квинту (которая есть сесквиальтера) — совершенным консонансом; две терции, большую и малую, две сексты, большую и малую (которые суть сесквикварта, сесквиквинта, супер-2-парциальная-3, супер-3-парциальная-5) — каждую саму по себе несовершенным консонансом. И назвали их, более того — определили как консонансы, потому что согласие, которое есть в каждом между двумя крайними, низким и высоким, составляющими интервал, производит действие, приятное слуху. Затем из этих консонансов через сложение составили целое, которое есть шестерная, в чём (как сказано выше) сходятся с настоящею системой. Так практически разумели — и доныне в общем разумеют — музыкальную систему. Говорю «в общем», дабы отличить от прочих всякого, кто разумеет её ныне иначе; и Вам хорошо ведомо, какого мужа, и сколь от прочих в этом отношении отличного, имеем мы здесь, в Падуе, в лице отца Валлотти, нашего капельмейстера. Итак, очевидно различие, более того — противоположность понятий. Но при доказанном и установленном доселе столь же очевидно, какое понятие ложно, а какое истинно; и в следствие — с какой стороны нужда в исправлении. Впрочем, странное дело, что после открытия явления струны о трёх звуках 1, ⅓, ⅕ (которое нельзя повторять достаточно часто) — открытия многолетнего, открытия всеобще известного, открытия, в коем физический язык столь ясен, что невозможно его не понять, — заблуждение такого рода доныне не исправлено всеобще. Да будет же оно исправлено по крайней мере у нас, физически и доказательно убеждённых. А потому да разумеется впредь и навсегда гармоническая музыкальная система как первое единство в общем и как некое целое, определяемое шестерною, которая есть его цельная протяжённость; составляющие же её части суть 2, 3, 4, 5, 6 — части, которые, соединяясь с целым и между собою, образуют по ряду интервалы: 1, 2 — дупла, или октава; 2, 3 — сесквиальтера, или квинта; 3, 4 — сесквитерца, или кварта; 4, 5 — сесквикварта, или большая терция; 5, 6 — сесквиквинта, или малая терция.

Если спросить, какова природа этих интервалов, ответ таков: они природы того целого, чьи они суть цельные части. Если спросить, какова природа целого, ответ таков: оно природы гармонической, то есть природы единства, и потому тождественно той никогда хорошо не мыслимой природе — ибо никогда хорошо не понятой — совершеннейшего консонанса. А чтобы она была хорошо понята, довольно вновь обратиться мыслью (после изъяснённого и установленного) к физико-гармоническим явлениям, описанным в первой главе. Так уразумеется, что консонантная музыкальная природа тождественна гармонической природе, определённой доказанным пределом-шестерною. И тут было бы кстати любопытнейшее и многозначительное доказательство, состоящее в том, чтобы доказательно явить: как гармоническая прогрессия внутри круга доходит до шестерной, далее которой прогрессии нет, — так и гармоническое возвращение к первому началу внутри того же круга доходит до шестерной, далее которой нет возвращения. А потому шестерною круг находится ограниченным и определённым таким образом, что круг образует круг в себе самом и возвращается к началу. Но не стоит слишком отвлекаться, и для нужды довольно уже доказанного, дабы исправить понятие о консонансах, мыслимых доселе (как сказано выше) каждый сам по себе, как первый и независимый от другого элемент, и все вместе составляющими шестерную через сложение. Сколь ложно это понятие, столь скоро мы увидим, что любой интервал — будь то сама дупла, хотя она и потенциальное начало, будь то сесквиальтера, хотя она и действительное начало системы, — когда рассматривается сам по себе и как независимый от гармонической системы-шестерной, может быть равно и консонансом, и диссонансом музыкальным. Это ясно, ибо дупла, именно как начало a priori, в своём центре, образованном средними контргармоническим, арифметическим, геометрическим, гармоническим (доказанном в шестой пропозиции), содержит квадратные корни цельной протяжённости-шестерной. А потому доказательно невозможно разделение этих двух понятий — дуплы цельной (то есть дискретной геометрической дуплы со всеми её средними) и шестерной цельной (то есть гармонической системы-шестерной), ибо они действительно образуют круг между собою. Когда же захотят рассматривать дуплу саму по себе и независимо от системы-шестерной, несомненно, что такая дупла не есть дупла настоящей системы, а потому не есть и не может быть первым началом. Если же это не дупла системы, она может быть равно и консонансом, и началом музыкального диссонанса в указанном выше смысле 1, 2, 4; и соответственно, а тем более — все прочие вышеупомянутые интервалы. Из этой первой ошибки по необходимости родилась вторая, а именно: что в обычной музыкальной практике разумеют, будто любой консонанс составлен из двух только членов, низкого и высокого, и не более. Ошибка очевидна. Нет и не может быть консонанса, если нет гармонической пропорции. Нет и не может быть гармонической пропорции, если нет трёх членов: среднего и двух крайних. А в доказанной настоящей системе не может быть гармонической пропорции иначе как относительно цельной протяжённости-шестерной. Стало быть, примечательно различие в способе разумения музыкальных консонансов, ибо есть разница между двумя членами и тремя. Одно дело, что два члена (любые) системы-шестерной разумеются консонантными, потому что суть цельные части системы; другое дело, что два данных члена сами по себе и без всякого отношения разумеются образующими консонанс. Первое понятие истинно, второе ложно; и оно есть следствие доказанного и установленного. Из этого следствия рождается четвёртый музыкальный Канон, а именно: что интервалы октавы, квинты, кварты, большой терции и малой терции, как цельные части гармонической системы-шестерной, которая есть совершеннейший цельный консонанс, все суть консонантные, ибо они природы своего целого, то есть своего цельного единства, которое есть гармоническая шестерная.

Третье исследование рождается из музыки, повсеместно применяемой на практике. Наша практическая музыка обнимает два различных рода гармонии: тот, что называется большой терции и рождается от гармонического деления звучащей струны на неравные части 2, 3, 4, 5, 6; и тот, что называется малой терции и рождается от арифметического деления той же струны на равные части 1, 2, 3, 4, 5, 6.

[нотный пример: в музыкальных нотах — «гармоническое деление» / «арифметическое деление»; «большая» / «малая»]

Несомненно, что всё доселе установленное относится единственно к роду гармонии большой терции, то есть к гармоническому делению, и никоим образом — к роду гармонии малой терции, то есть к арифметическому делению. И хотя признаётся, что гармония малой терции, как выведенная из арифметического деления, словно бы заимствована у науки арифметики; и признаётся, что гармоническая система (которая есть гармония большой терции) по природе единственна и по преимуществу первая, — всё же на том, кто берётся образовать всеобщую систему, лежит долг объять оба различных рода системы и свести их к одному-единственному роду, который был бы всеобщим. Иначе в одной и той же системе будет два различных начала, что нелепо и противно истинной идее системы. Исследование это не только разумно, но и необходимо. Ибо на деле наша музыка равно основана на двух означенных родах гармонии; а доселе ничего не сказано о роде гармонии малой терции. Между тем из этого исследования возьмём то, что можно. Меж нами условлено, что и род гармонии большой терции, и род гармонии малой терции простираются до шестерной, и не более. Соглашаюсь с практической музыкой в этом положении, ибо вскоре оно будет доказано. Признаётся, что гармоническая система (которая есть род гармонии большой терции) по природе единственна, по преимуществу и совершенству первая; а арифметическая система (которая есть род гармонии малой терции) — пришлая и привходящая в отношении к музыке, как взятая взаймы у иной науки, то есть арифметики; и как сама по себе, так и в сравнении с гармонической — несовершенна и недостаточна. Таково доселе было общее мнение, к которому я ничего вовсе не прибавляю от себя.

Из двух частей этого положения первую принимаю безусловно: что род гармонии большой терции по природе единствен и совершеннейший, ибо этого прежде всего требует природа, которая так изъясняет себя и в струне о трёх звуках 1, ⅓, ⅕ — гармония большой терции; и в педали органа, где многие звуки, между собою различные, ибо гармонически расположенные (а потому гармония большой терции), образуют один-единственный звук; и главное — в третьем звуке, который доказательно есть единый и истинный Бас, или основание данных частей, гармонически расположенных, — а потому всегда Бас и основание гармонии большой терции. Это положение в отношении к третьему звуку столь, и столь строго истинно, что, если бы возможно было изобретение такого инструмента, который — звучащий ли сам по себе, как скрипка, способная к двум одновременным звукам, или звучащий со своим подобным, как гобой, не способный к двум одновременным звукам, — производил бы третий звук силою такою, что равнялась бы силе природного звука инструмента, — на таком инструменте была бы невозможна исполнение музыки, выведенной из арифметического деления, то есть на практике музыки, сочинённой в малой терции. Опыт уже произведён с двумя гобоями и одною скрипкой. Музыкальная гармония малой терции была:

[нотный пример: гармония малой терции]

Воспоследовавшие третьи звуки, которые ясно различались, были:

[нотный пример: результирующие третьи звуки]

Пусть всякий, кто имеет разумное чувство музыки, вообразит, сколь ужасное действие производят такие Басы, или основания, поставленные против таких частей. И на деле так это и было отмечено всеми, кто присутствовал при опыте, — а было их восемь профессоров музыки. Напротив того, в том же действии и в то же время опыта, когда те же музыкальные ноты были приведены к большой терции в:

[нотный пример: гармония большой терции]

и воспоследовал единый третий звук:

[нотный пример]

пусть всякий вообразит наилучшее действие, производимое такою гармонией, в которой доказательный гармонический Бас есть физический результат — третий звук. Так на деле и воспоследовало по общему суждению и согласию означенных профессоров. Так воспоследует впредь у всякого вовеки, хотя бы при таком опыте результирующие третьи звуки далеко не равнялись силою природным звукам. В этом отношении принимаю вторую часть положения: что гармония малой терции, в сравнении с гармонией большой терции, несовершенна и весьма недостаточна. И напротив того, гармония большой терции есть совершеннейшая, непосредственно и главным образом требуемая природою таким образом, что по преимуществу разумеется и справедливо называется в общем музыкальной гармонией. Что же до той части второго положения, в которой, согласно общему способу разумения, сказано, будто гармония малой терции заимствована у науки арифметики и словно бы пришла и привходяща музыке, — это отрицаю безусловно; и напротив того говорю, что система гармонии малой терции не только неотделима от системы гармонии большой терции, но более того — есть та же самая тождественная система, которая сама по себе и независимо от какого-либо иного начала включает оба рода гармонии. Доказываю.

Пропозиция седьмая. Фигура VII, соединённая с музыкальными примерами. — Дана гармоническая шестерная в диаметре AM (60); будет A2 = 30, A3 = 20, A4 = 15, A5 = 12, A6 = 10. Остатками же, или дополнениями диаметра, будут 2M = 30, 3M = 40, 4M = 45, 5M = 48, 6M = 50; и они, положенные звучащими линиями, дадут соответственные звуки в музыкальных нотах, означенные в музыкальном примере 3.

[математическая выкладка — опущена: построение дискретной геометрической дуплы и сесквиальтеры на C-sol-fa-ut 60, соответствующем диаметру AM 60]

[нотный пример]

Стало быть, за исключением в музыкальном примере 3 первой ноты C-sol-fa-ut 30, в которой верхний гармонический ряд образует единство с нижним рядом дополнений, вторая нота G-sol-re-ut 40 и третья нота F-fa-ut 45 тождественны двум средним — гармоническому 40 и арифметическому 45 — означенной выше дискретной геометрической дуплы. Равно четвёртая нота E-la-mi 48 и пятая последняя нота 50 тождественны двум средним — гармоническому 48 и арифметическому 50 — означенной выше дискретной геометрической сесквиальтеры. Но три ноты 30, 40, 45 музыкального примера 3 суть дополнения трёх нот 30, 20, 15 музыкального примера 1, ибо таковы они в диаметре AM. Равно две последние ноты 48, 50 музыкального примера 3 суть дополнения двух последних нот 12, 10 музыкального примера 1, ибо таковы они в диаметре; а в музыкальном примере 1 крайние из 30, 20, 15 пребывают в дупле, крайние 15, 12, 10 — в сесквиальтере. Стало быть, доказано, что в музыкальном примере 3 две ноты 40, 45 суть два средних, гармоническое и арифметическое, дуплы; две музыкальные ноты 48, 50 суть два средних, гармоническое и арифметическое, сесквиальтеры, ибо они суть остатки, или дополнения соответствующих означенных отношений. Но арифметическая система гармонии малой терции основана на арифметическом делении сесквиальтеры, то есть на практике квинты; а последняя нота E-la-fa 50 музыкального примера 3 доказана арифметическим делением сесквиальтеры, то есть квинты. Стало быть, арифметическая система гармонии малой терции основана на последней ноте музыкального примера 3, каковая нота соответствует в диаметре линии 5M. Но эта линия имеет своё начало в верхней системе-шестерной гармонической, относительно которой она есть дополнение. Стало быть, арифметическая система (которая есть гармония малой терции) не только неотделима от гармонической системы (которая есть гармония большой терции), но более того — есть та же самая тождественная система, которая сама по себе и независимо от какого-либо иного начала включает оба рода гармонии; что и требовалось доказать.

Сводя доказательство к музыкальной практике, цельной гармонией будет гармония E-la-fa 50, последней ноты примера 3.

[нотный пример]

Высокое C-sol-fa-ut 30, образующее октаву с низким C-sol-fa-ut 60, предполагается ради системы, как ради системы предполагается дупла — начало первое a priori, ибо доказанное. Остальное же из музыкальных нот есть квинта с арифметическим средним, доказанным выше. Но дабы всё это лучше уразумелось на практике, положим C-sol-fa-ut 60 (который в фигуре есть диаметр) основным Басом всей гармонии, как оно и есть на деле; и положим его Басом постоянным, как тонический держащийся звук, против всех музыкальных нот примера 1 и примера 3, выведенных из фигуры. Будет:

[нотный пример]

Находится, что как над третьим постоянным C-sol-fa-ut стоят против него две ноты F-fa-ut и C-sol-fa-ut — и потому F-fa-ut есть арифметический делитель октавы C-sol-fa-ut, c-sol-fa-ut (причём не важно, что высокое c-sol-fa-ut выше на октаву), — так над пятым постоянным C-sol-fa-ut стоят против него две ноты E-la-fa, G-sol-re-ut — и потому E-la-fa есть арифметический делитель квинты C-sol-fa-ut, G-sol-re-ut (причём не важно, что G-sol-re-ut на кварту выше). Вот, стало быть, с очевидностью образование системы гармонии малой терции в E-la-fa, последней ноте музыкального примера 3.

Здесь благоволите рассмотреть со мною, каким образом держится и какую систему производит третий звук, который, конечно, не имеет места в гармонии малой терции, более того — ей противится. Да будут поставлены против C-sol-fa-ut, как постоянного Баса и тонического держащегося звука, ноты музыкального примера 3, перенесённые в высоту на скрипке, дабы ощутимее вывести соответствующие третьи звуки; и для полноты наблюдения да прибавится последняя замкнутая нота, выведенная из деления диаметра сверх шестерной на 7, так чтобы остаток, или дополнение, был 7. Будет:

[нотный пример: «соответствующие третьи звуки»]

В этом наблюдении несомненно, что каждая музыкальная нота третьих звуков сама по себе есть физико-гармонический корень двух нот, над нею поставленных; и в этом смысле всё гармонично и всё относится к гармонии большой терции. Но столь же несомненно, с доказательной достоверностью, что ход третьих звуков арифметический; и что пять нот третьих звуков, поставленных в одновременной гармонии, образуют в точности арифметическую систему, то есть гармонию малой терции.

[нотный пример]

Прибавлена ли, или не прибавлена последняя замкнутая нота, система остаётся истинной; ибо, когда даны четыре верхние ноты третьих звуков в одновременной гармонии, в них разумеется нижняя квинта, которая есть основной Бас. Наблюдение любопытно и занимательно, ибо физично.

Указанием его служит дискретная геометрическая тройная 6, 5, 4, 3, 2.

Благоволите равно рассмотреть, что вторая и четвёртая ноты музыкального примера 3 суть дополнения третьей и пятой нот музыкального примера 1; и они между собою в том же музыкальном именовании: G-sol-re-ut, g-sol-re-ut — октава; E-la-mi, e-la-mi — квадрупла. Две ноты примера 1 суть тождественно ⅓, ⅕ струны, ибо как do (которое есть вся струна) 20, 12, так и 1, ⅓, ⅕. А соответственные дополнения, которые суть две ноты примера 3, суть два гармонических средних: G-sol-re-ut 40 дуплы; E-la-mi 48 сесквиальтеры.

[нотный пример]

В следствие сего вновь подтверждается то, что было указано выше [нотный пример]: что струна о трёх звуках 1, ⅓, ⅕ относится к гармонической системе-шестерной и природы круговой.

Сводя ныне к её началам всеобщую систему, находим, что всё сводится к дупле, разумеемой в двух отношениях. В первом отношении она как неделимая и гармонической потенции. Это ясно в первых двух нотах музыкального примера 1, и это то же, что диаметр и полудиаметр. Во втором отношении она как делимая гармонически и арифметически в дополнениях гармонической прогрессии, и как возвращающаяся к своему первому началу круговым движением. Это ясно в нотах примера 3, которые исходят от второй ноты дуплы, то есть от C-sol-fa-ut 30, в которой образуют единство с гармонической прогрессией примера 1, и возвращаются к своему первому началу C-sol-fa-ut 60, проходя через соответственные средние, гармоническое и арифметическое, дуплы и сесквиальтеры, и останавливаясь, словно в завершении и периоде системы, на ноте E-la-fa 50, каковая тождественно соответствует контргармоническому среднему дискретной геометрической дуплы 6, 8, 9, 10, 12. И этим вновь доказывается то, что установлено в начале: а именно что дупла есть потенциальное начало, а сесквиальтера — действительное начало гармонической системы. Ибо если из дискретной геометрической дуплы 6, 8, 9, 10, 12 вычесть арифметическое среднее 9, останется 6, 8, 10, 12.

[нотный пример]

Стало быть, в точности система гармонии малой терции. Но 10 есть арифметическое среднее сесквиальтеры 8, 12; в 10 встречается последний член шестерной; и исключается арифметическое среднее 9 дуплы 6, 12. Стало быть, дупла в потенции сгустилась в сесквиальтеру в действии; и в этой сесквиальтере встречается и завершается определение двух систем — гармонии большой терции и гармонии малой терции.

У Вас будет любопытство узнать, каким образом должно мыслить консонантным род гармонии малой терции, коль скоро невозможно мыслить его по образу рода гармонии большой терции; ибо невозможно, чтобы третий звук, корень, постоянный в бесконечности от гармонической системы, был равно корнем системы арифметической, — когда я уже показал, какая, напротив, вышла бы путаница, если бы в гармонии малой терции были достаточно ощутимы третьи звуки, от такой гармонии воспоследовавшие. Прошу Вас на время отложить Вашу справедливую любознательность, пока мне не откроется к тому удобное место.

Остаётся рассмотреть музыкальный пример 4, выведенный из отношений, образованных квадратами синусов. Несомненно, что практическая музыкальная система составлена не только из двух родов гармонии — большой терции и малой терции, — но сверх того из третьего рода, который на практике называется родом диссонансов в отличие от двух означенных родов, называемых родами консонансов. Этот род диссонансов возникает из одновременного соединения голосов или звуков, расположенных в таких отношениях, или интервалах, которые не согласуются ни с гармонической системой большой терции, ни с арифметической малой терции. Более того, в этом роде, хотя музыкальная практика и удостоверяет в действии, ибо судьёю ставит слух и общее чувство, она не удостоверяет, однако, в причине. И это не диво: ибо если доныне не было известно внутреннее начало консонансов, тем менее можно было знать внутреннее начало диссонансов, которые разумеются через свою противоположность. На деле, как практически доселе определяли консонансы по действию, то есть согласие голосов или звуков, приятное слуху, так, напротив, диссонансы определяли согласием, неприятным слуху. Впрочем, этот третий род на практике не разумеется существенным для музыки, как разумеются два других, но только привходящим; так что, когда захотят, могут обойтись без его употребления. Это значит, по существу, что невозможно музыкальное сочинение без консонансов; возможно музыкальное сочинение без диссонансов. Эти диссонансы доселе разумелись и разумеются на практике тем же образом, каким разумелись консонансы: то есть интервалами, или расстояниями, составленными из двух членов, соответствующих двум голосам или двум звукам в отношении низкого и высокого. Как назвали и определили консонансами интервалы октавы, квинты и проч., так, напротив, назвали и определили диссонансами интервалы ноны, септимы и проч. И как практика удостоверяет точное число консонантных интервалов в октаве, квинте, двух терциях, большой и малой, и двух секстах, малой и большой (относительно кварты разногласие мнений), так равно удостоверяет число диссонантных интервалов в секунде, кварте, сексте, септиме и ноне. Так разумеют в общем, не нанося обиды тому, кто в частности разумеет иначе. Сверх того, для обращения с диссонансами есть особое практическое правило, которое предписывает, чтобы диссонантная нота приготовлялась нотою предыдущею, консонантною и унисонною диссонантной ноте, которая непосредственно следует; затем чтобы диссонантная нота разрешалась в ноту последующую, консонантную, нисходящую всегда либо на тон, либо на полутон. Такова теория и практика третьего рода — диссонанса, необходимо предпосланная доказательству и изъяснению музыкального примера 4. Какова бы она ни была, следую по обыкновению моему строгому методу — давать себя вести доказательством и фактом. Говорю же, что синусы, как геометрические, суть корни диссонантной системы и неотделимы от всеобщей системы. Доказываю.

Фигура VII. Музыкальные примеры 2, 3, 4. — Чтобы привести положения к общему разряду, опустив пример 1, возьмём музыкальные примеры 2, 3, 4, выведенные из отношений, образованных квадратами диаметра AM и струн AB, AC, AD и проч. (откуда выведен пример 2); квадратами подтянутых линий MB, MC, MD и проч. (откуда выведен пример 3); квадратами синусов 2B, 3C, 4D и проч. (откуда выведен пример 4). А потому, как струны, подтянутые и синусы пребывают в общем разряде квадратов, так и музыкальные ноты означенных примеров пребывают в общем разряде отношений. Чтобы составить идею этого отношения, скажем: первая нота C-sol-fa-ut музыкального примера 4 пребывает в дупле со второю нотою музыкального примера 2.

[математическая выкладка — опущена: квадрат синуса 2B в дупле с квадратом струны AB; вторая нота D-la-sol-re примера 4 в сесквиальтере с третьей нотой примера 2; квадрат синуса 3C в сесквиальтере с квадратом струны AC и проч.]

Положив это, поставим в музыкальном сопоставлении пример 4, выведенный из синусов, с примером 2, выведенным из струн; и подложим под него, соединив в одновременной гармонии, гармоническую систему сообразно её последовательному изъяснению в примере 2, — памятуя по доказанному, что такое соединение не по произволу, но по физической и доказательной сущности гармонической системы, каковая сообразно своему изъяснению соединяется до шестерной в цельное единство гармонии. Будет:

[нотный пример]

В этом сопоставлении видно, что меж тем как в примерах последовательных нот 4, 2 находится сесквиальтера между B примера 2 и P примера 4 (на практике квинта между G-sol-re-ut, D-la-sol-re), в подложенном для сравнения примере соединения находится другая сесквиальтера в двух соединённых нотах AB (квинта между C-sol-fa-ut, G-sol-re-ut). Стало быть, в таком сопоставлении находится геометрическая пропорция, ибо находится непрерывная сесквиальтера, как 9, 6, 4; в музыкальных нотах:

[нотный пример: «соединение»]

Но подложенная сесквиальтера AB есть природная сесквиальтера гармонической системы; а наложенная сверху B определяется через P, которое соответствует квадрату синуса 3C. Стало быть, в корне от синуса 3C определена сесквиальтера, геометрическая пропорция. Но природа геометрической величины по существу противоположна двум природам — величины гармонической и арифметической; ибо где эти имеют первым началом единство, хотя и в различном отношении, та имеет первым началом двойственность, как доказано в образовании синусов. Равно геометрическая прогрессия по существу противоположна двум прогрессиям, гармонической и арифметической; ибо где те основаны на бесконечном ряде отношений, всегда различных, та основана на бесконечном ряде того же отношения, умноженного. Стало быть, если две пропорции, гармоническая и арифметическая, консонантны, то пропорция геометрическая в силу противоположности будет диссонантна. Но музыкальный пример 4 выведен из синусов, а эти неотделимы от струн, из которых выведен пример 2. Стало быть, диссонантная система неотделима от всеобщей системы; что и требовалось доказать.

Из этого доказательства рождается пятый музыкальный Канон, а именно: что в общем всякое музыкальное созвучие будет диссонантным, если в созвучии окажутся два сходных интервала различного вида, за исключением (более по употреблению, нежели по причине) октавы. Например, две квинты, две кварты, две большие терции и проч. — не разумеемые в октаве между собою, как:

[нотный пример]

ибо две квинты здесь не различного вида: это та же квинта, повторённая в октаве, — но разумеемые следующим образом:

[нотный пример]

где два интервала действительно сходны, ибо как низкий, так и высокий есть интервал квинты, но различного вида, ибо низкий имеет своё основание в F-fa-ut, а высокий — в C-sol-fa-ut. Сверх того, чтобы Канон был истинен, нет необходимости, чтобы два интервала соединялись между собою в общем среднем, так чтобы сесквиальтера, или квинта, была геометрической непрерывной. Канон остаётся истинным, хотя бы пропорция была геометрической дискретной, и вообще всякий раз, как удвоен означенным образом любой интервал, составляющий музыкальное созвучие.

Рождается в особенности шестой музыкальный Канон, а именно: что из двух сходных интервалов различного вида консонантным будет тот, который внутренне принадлежит гармонической или арифметической системе; диссонантным будет тот, который никоим образом не принадлежит и не может принадлежать двум означенным системам. Изъяснится вскоре.

Доказав и установив начало диссонантной системы в P примера 4, относящемся к квадрату синуса 3C, в следствие сего диссонантный ход будет в Q, R, S, относящихся к квадратам синусов, содержащихся в шестерной. На деле C примера 2 и Q примера 4 пребывают между собою в сесквитерце, или кварте. Для сравнения в примере соединения находится другая сесквитерца различного вида в BC, и эта есть природная сесквитерца гармонической системы. Стало быть, верхняя, или высокая, есть диссонантная. Равно между D примера 2 и R примера 4 есть сесквикварта, или большая терция. Для сравнения в примере соединения находится другая сесквикварта различного вида в CD, и эта есть природная сесквикварта гармонической системы. Стало быть, верхняя есть диссонантная. Наконец, между E примера 2 и S примера 4 есть сесквиквинта, или малая терция. Для сравнения в примере соединения находится другая сесквиквинта различного вида в DE, и эта есть природная гармонической системы. Стало быть, верхняя есть диссонантная. И здесь полна шестерная и завершена система.

Остаётся видеть, какое расстояние образует каждый из этих высоких крайних — P, Q, R, S — в сравнении с гармоническим низким крайним C-sol-fa-ut A, который в точности есть третий звук, а потому корень, основание и, словом, основной Бас всей гармонии. Сравнив P примера 4 с C-sol-fa-ut A примера соединения, расстояние есть нона. Стало быть, в действительности нона есть диссонанс, ибо составлена из двух квинт различного вида. Сравнив Q с тем же C-sol-fa-ut, расстояние есть ундецима. Стало быть, в действительности ундецима есть диссонанс, ибо составлена из двух кварт. Этому диссонансу ундецимы тождественно соответствует на практике диссонанс, называемый квартой, ибо на практике расстояние крайних взято не от C-sol-fa-ut A примера соединения, но от C-sol-fa-ut C примера 2, который действительно отстоит на кварту от F-fa-ut Q примера 4. Отсюда в точности родилась двусмыслица и путаница относительно кварты, о которой доныне спорят — консонанс ли она, или диссонанс. Низкая кварта, то есть C примера 2, B примера соединения,

[нотный пример]

консонантна, ибо она природная кварта гармонической системы-шестерной. Высокая кварта, то есть Q примера 4, C примера 2,

[нотный пример]

диссонантна, ибо не принадлежит и не может принадлежать гармонической системе, и, соединённая с низкою квартою, образует геометрическую непрерывную сесквитерцу. Оттого что не были хорошо различены по их природе две кварты и не были сравнены по их природе два крайних, родилась означенная двусмыслица и путаница. Если же на практике удобнее (как оно и есть на деле) надписывать 4, нежели 11, в числах, которые ставятся при органном Басе, то пусть так и продолжают без всякого сомнения, лишь бы разумели означенным образом. Разъяснение было необходимо. Сравнив R примера 4 с тем же C-sol-fa-ut A, расстояние есть дуодецима избыточная, или (как на практике называется) сверхдолжная:

[нотный пример]

Стало быть, в действительности избыточная дуодецима есть диссонанс, ибо составлена из двух больших терций: низкой природной гармонической системы в CD примера соединения; высокой, не принадлежащей гармонической системе, между D примера 2 и R примера 4:

[нотный пример]

Об этом диссонансе нет и никогда не было практической идеи, и он становится вовсе новым в музыкальной системе. Есть, правда, диссонанс, называемый на практике секстою (но строго это терцдецима, как будет видно в своём месте), который с первого взгляда кажется сходным с означенным выше. Но это не так; он внутренне иной. Ибо диссонанс, называемый на практике секстою, будучи действительно терцдецимой (поскольку в нём та же двусмыслица, что обнаружена в кварте относительно истинного расстояния), что в музыкальной системе сравнения значит:

[нотный пример]

не имеет ничего общего с избыточной дуодецимой ни по природе, ни по именованию музыкальной буквы. Не по природе — ибо избыточная дуодецима основана по природе на большой терции в сравнении с другою большою терцией, которая есть природная гармонической системы; а терцдецима внутренне основана на высокой кварте A-la-mi-re, E-la-mi в сравнении с низкою квартою C-sol-fa-ut, G-sol-re-ut, которая есть природная гармонической системы. Не по именованию музыкальной буквы — ибо высокая нота избыточной дуодецимы есть G-sol-re-ut диез, а высокая нота терцдецимы есть A-la-mi-re, и потому расстояния действительно различны: то — дуодецима, это — терцдецима. Да будет же избыточная дуодецима диссонансом нового приобретения, чьё употребление вскоре будет видно. Сравнив, наконец, S примера 4 с тем же C-sol-fa-ut A, расстояние есть квартдецима. Стало быть, в действительности квартдецима есть диссонанс, ибо составлена из двух малых терций различного вида. Низкая — в DE примера соединения, и она природная гармонической системы. Высокая — между b-fa S примера 4 и G-sol-re-ut E примера 2, и она не принадлежит гармонической системе. Этому диссонансу квартдецимы тождественно соответствует на практике диссонанс, называемый септимой; и нет иного различия, кроме как в члене расстояния, которое в действительности должно браться от низкого C-sol-fa-ut A, а на практике берётся от высокой октавы C-sol-fa-ut. В первом способе это квартдецима, во втором септима; но истинен первый способ, не второй, ибо по существу как в этом, так и в прочих диссонансах должно предполагать положение консонантной системы прежде, чем предполагать систему диссонантную, которая не существует сама по себе, но в силу системы консонантной, как с доказательной очевидностью видно было в музыкальных примерах. Отсюда рождается седьмой музыкальный Канон, а именно: что не даётся и не может даваться никакое диссонантное положение, кроме как основанное на положении консонантном.

Рассматривая то, что в диссонантной системе выведено и установлено, находим, что настоящая система согласна с общею практикой в положении ноны, ундецимы (или кварты) и квартдецимы (или септимы). Но никоим образом не согласна в положении секунды, ибо для неё нет и не может быть места в этой системе: знак, что нет такого диссонанса. Ошибка эта практическая и родилась из септимы, которая относительно музыкальных нот, составляющих её аккорд, или цельную гармонию, обратима многими способами. Её основная фигура есть [нотный пример], в которой низкая нота C-sol-fa-ut есть основной Бас. В обращении, или перестановке этой фигуры рождаются три положения. Первое:

[нотный пример]

в органном Басе помечается числами. Второе:

[нотный пример]

Третье:

[нотный пример]

которое в органном Басе помечается. Здесь источник ошибки. В этом третьем положении числа 2, 4, 6, поставленные вместе над нотою b-fa, на практике называются диссонантными. Затем в особенности секунда (по числу 2) называется диссонансом. Но ошибка очевидна. В верхней основной фигуре C-sol-fa-ut, E-la-mi, G-sol-re-ut аккорд консонантен, ибо эти три ноты пребывают между собою в гармонической пропорции. С прибавлением ноты b-fa к означенному аккорду прибавляется малая терция между G-sol-re-ut, B-fa, каковая не может не быть диссонантной, ибо различного вида с непосредственно подложенною G-sol-re-ut, E-la-mi, которая есть природная гармонической системы. Стало быть, диссонантная нота есть в точности b-fa, септима с основным Басом C-sol-fa-ut. В третьем же положении нота, которая в точности образует секунду, к которой относится число 2, есть C-sol-fa-ut, который в основной фигуре есть Бас. Как же может быть, чтобы эта нота была диссонантной, если она есть основной Бас? Напротив, всё наоборот. В каком бы месте ни оказался через перестановку C-sol-fa-ut, он всегда будет консонантным, и так же E-la-mi, G-sol-re-ut, которые не меняют природы оттого, что меняют место и положение. b-fa будет диссонантным в каком бы месте и положении ни оказался — по той же причине, что не меняет природы оттого, что меняет место. Стало быть, в третьем положении не C-sol-fa-ut, который есть 2 по числу, не E-la-mi, который есть 4 по числу, не G-sol-re-ut, который есть 6 по числу, диссонантны; но единственная диссонантная нота есть b-fa, которой по числу соответствовала бы 1, а не 2. Стало быть, диссонанса, называемого секундою, нет ни в этой системе, ни в музыкальной практике. Это ошибка, которую должно исправить, а с приведённым примером — и многие другие того же рода.

Исключив навсегда секунду как диссонанс, должно исследовать, не следует ли исключить также и терцдециму (на практике сексту), которая в настоящей системе не появляется, а на практике есть диссонанс весьма употребительный. В системе она не появляется, но включена в пятый и шестой музыкальные Каноны, выведенные из системы. Если по пятому Канону в музыкальном созвучии есть два сходных интервала различного вида, будет диссонанс. Стало быть, при данном созвучии

[нотный пример]

будет диссонанс, ибо есть два сходных интервала различного вида, то есть кварта между G-sol-re-ut, C-sol-fa-ut и кварта между E-la-mi, A-la-mi-re. По шестому Канону, из этих двух сходных интервалов различного вида консонантен тот, который принадлежит гармонической или арифметической системе; диссонантен тот, который никоим образом не принадлежит двум означенным системам. Стало быть, кварта между G-sol-re-ut, C-sol-fa-ut консонантна, ибо она природная гармонической системы; кварта между E-la-mi, A-la-mi-re диссонантна, ибо никоим образом не может принадлежать означенной системе. Стало быть, в точности A-la-mi-re есть диссонантная нота. Но эта отстоит на терцдециму от основного Баса C-sol-fa-ut. Стало быть, терцдецима есть истинный законный диссонанс и принадлежит настоящей системе, которая с практикой согласуется и сходится.

Остаётся рассмотреть, согласна ли и сходна ли эта система с практикой в обращении с диссонансами, то есть в их приготовлении и разрешении изъяснённым выше образом. Для такого рассмотрения вернёмся к музыкальным примерам 2, 3, 4, приложенным к фигуре VII, где всё должно найтись, если настоящая система истинна. В примере 4, который есть пример диссонансов, первый ход — от C-sol-fa-ut (нота, общая всем примерам) к D-la-sol-re, в котором находится первый диссонанс, что есть нона. Для сравнения с этим ходом находим в примере 2, который есть пример гармонической системы, ход от C-sol-fa-ut 2 к G-sol-re-ut 3. Поскольку гармоническая система есть главное основание всеобщей системы, ибо есть корень и причина всего, что находится в системе в частности, должно сказать, что в ходе гармонической системы от C-sol-fa-ut 2 к G-sol-re-ut 3, который есть сесквиальтера, или квинта, находится произведённым для сравнения в примере 4 диссонанс ноны, который действительно составлен из двух квинт. Стало быть, образец, или форма, есть в квинте гармонического хода. Этому интервалу квинты, который в образце, соответствует в одновременном созвучии вторая нота G-sol-re-ut 40 примера 3, под которую подкладывается основной Бас C-sol-fa-ut, образующий квинту с означенным G-sol-re-ut 40. В этом точном отношении предшествующего образца и последующего примера находится гармонический ход примера 2 к одновременному созвучию двух примеров 3, 4. Ибо в примере 2 первый ход есть дупла, то есть от 1 к 2; в одновременном созвучии двух примеров 3, 4 находится дупла между двумя первыми нотами означенных примеров, но позднейшая, нежели дупла примера 2. В этом примере 2 второй ход есть квинта между C-sol-fa-ut 2, G-sol-re-ut 3, но это тройная, если гармония рассматривается одновременно, как по природе и должно рассматривать.

…но позднейшая. В примере 2 третий ход есть кварта между G-sol-re-ut 3, C-sol-fa-ut 4; но это четверная, если гармония рассматривается одновременно. Для сравнения в двух примерах 3, 4 две третьи ноты — F-faut 45 примера 3, F-faut примера 4 — стоят в четверной, но позднейшей. Словом, чтобы сократить сравнение: что происходит предшествующим образом в примере 2 гармонической системы, то происходит позднейшим образом в примерах 3, 4 относительно их одновременного созвучия. Равным образом что происходит в последовательном ходе примера 2 — то есть октавы, квинты, кварты, большой терции и малой терции, — то происходит в одновременном созвучии примера 3 относительно постоянного основного Баса, как видно в этом примере:

[нотный пример]

Стало быть, в гармонической системе примера 2, выведенной из струн, есть предшествующее приуготовление того, что позднейшим образом должно произойти в двух других системах примеров 3, 4, выведенных из натянутых струн и из синусов. Это приуготовление гармонической системы, которое в гармоническом делении диаметра в примере 1 справедливо можно назвать формой, образцом, определением тех отношений, что должны произойти в примерах 2, 3, 4, — есть, говорю я, тождественное показательное приуготовление диссонансов; и в этом приуготовлении музыкальная практика согласуется и сходится с системой. Докажу это. Первый диссонанс есть нона, и он диссонанс, ибо составлен из двух квинт. Стало быть, приуготовление должно быть квинтой, ибо она его форма; и должно найтись с точностью основного Баса во второй ноте G-sol-re-ut 40 примера 3, ибо в этой ноте находится образец, образованный в квинту. А приведённый к музыкальной практике, образец так и находится в точности:

[нотный пример]

Стало быть, доказано и пр. Но именно так в точности и разумеют, и действуют в музыкальной практике. Стало быть, практика согласна с доказательством.

Второй диссонанс есть ундецима, и он диссонанс, ибо составлен из двух кварт. Стало быть, приуготовление должно быть квартой, ибо она его форма, и должно найтись с точностью основного Баса в третьей ноте F-faut 45 примера 3, ибо в этой ноте находится образец, образованный квартой. А приведённый к музыкальной практике, образец так и находится в точности:

[нотный пример]

Стало быть, доказано и пр. Но именно так в точности и разумеют, и действуют в музыкальной практике. Стало быть, практика согласна с доказательством.

Третий диссонанс есть избыточная дуодецима, доселе неведомая музыкальной практике. Это диссонанс, ибо составлен из двух больших терций. Стало быть, приуготовление должно быть большой терцией, ибо она его форма; и должно найтись с точностью основного Баса в четвёртой ноте E-la-mi 48 примера 3, ибо в этой ноте находится образец, образованный в большую терцию. А приведённый к музыкальной практике, образец так и находится в точности:

[нотный пример]

Стало быть, доказано. Но именно так в точности разумели бы и действовали бы в музыкальной практике, будь такой диссонанс известен, и так и должно будет употреблять его теперь, когда он стал известен. Стало быть, практика согласна с доказательством.

Наконец, четвёртый диссонанс есть квартдецима; и это диссонанс, ибо составлен из двух малых терций. Стало быть, приуготовление должно быть малой терцией, ибо она его форма; и должно найтись с точностью основного Баса в пятой ноте E-la-fa 50 примера 3, ибо в этой ноте находится образованный образец малой терции. А приведённый к музыкальной практике, образец так и находится в точности:

[нотный пример]

В точности так разумеют и действуют в музыкальной практике. Стало быть, практика согласна с доказательством.

При сравнении вообще оправдается любой показательный образец против любого практического примера; и если будет ошибка, никогда она не будет в показательном образце. Правда, что практика гораздо более расширяется в приуготовлении диссонансов, ибо не берёт строго правило приготовлять их точным консонантным интервалом, который затем становится диссонантным, но любой консонантный интервал служит вышесказанному приуготовлению. Например, в ноне приуготовление есть большая терция, а диссонанс — квинта. В ундециме (или, по-практически, кварте) приуготовление есть малая терция, а диссонанс — кварта, и пр.

[нотный пример]

Это нисколько не противоречит настоящей системе, которой довольно произвести первое и всеобщее начало правила приуготовления, из коего можно вывести многие справедливые следствия и частные правила. Впрочем, практическое правило, расширенное вышесказанным образом, имеет своё основание в пятом Каноне и относится к диссонансам, выведенным из дискретной геометрической пропорции, как правило системы внутренне относится к диссонансам, выведенным из непрерывной геометрической пропорции.

Установив основание приуготовления диссонансов и их устроения в гармоническом образце, из коего предшествующим образом берутся как формы те отношения, что позднейшим образом образуют приуготовление, а затем определяются диссонансы, — ясно, что их разрешение должно найтись в той же гармонической системе, которая есть всеобщее основание. То, что практически разумеют под приуготовлением, устроением и разрешением диссонанса, уже изъяснено в другом месте, но полезно повторить. Разумеется, что диссонанс не может существовать сам по себе, но должен внутренне зависеть от консонанса. Поэтому первое положение есть предшествующее приуготовление консонантной музыкальной ноты. Второе положение есть та же консонантная музыкальная нота, которая обращается в диссонантную. Третье положение есть её разрешение в консонанс, то есть переход диссонантной ноты в другую ноту, которая должна быть консонантной и должна всегда нисходить либо на тон, либо на полутон. И потому совершенно верно, что диссонанс не существует сам по себе, но в силу консонансов: предшествующего, который есть приуготовление, и последующего, который есть разрешение. Приуготовление в настоящей системе показано с доказательной очевидностью. С равною очевидностью должно показать и разрешение. Замечу наперёд, что мне неведома причина музыкальной практики, по которой диссонансы должны разрешаться нисхождением на тон или полутон, а никогда восхождением. Есть ли в практике эта причина — признаюсь, что не знаю. Но достоверно, что она должна быть по доказательству, коль скоро так в практике действуют, и действуют хорошо. Говорю, стало быть, что в разрешении диссонансов в практике должно действовать так, как и действуют, ибо так учит доказательство настоящей системы, и оно есть следующее.

При данной шестичленной гармонической системе в музыкальных нотах в сравнении с системою диссонансов, коль скоро доказано, что форма-сесквиальтера 2, 3 есть производящая нону, подложенную D-la-sol-re, ибо составлена из двух сесквиальтер; форма-сесквитерца 3, 4 — производящая ундециму, подложенную F-faut, ибо составлена из двух сесквитерц, и пр.; и коль скоро доказано, что диссонансы суть диссонансы лишь постольку, поскольку внутренне устроены геометрической пропорцией, и потому сами по себе не существуют, ибо несовместны с гармонической системой, — то с необходимым следствием и как королларий выходит, что, не существуя сами по себе, они должны возвращаться туда, откуда вышли; то есть, по существу, разрешаться в то самое начало, из коего имеют происхождение и в коем имеют корень. Но это есть гармоническая система; стало быть, в гармонической системе они должны разрешаться. И этого мало. По тому же следствию и королларию: если предшествующее отношение гармонической системы есть форма приуготовления диссонанса, то последующее отношение гармонической системы (которое будет предшествующим разрешению диссонанса) должно быть формою разрешения, ибо по тому же началу и тем же образом, каким геометрическая система отходит от гармонической системы, она должна в неё и возвращаться.

[нотный пример]

В данном же сравнении гармонической системы и системы диссонантной обнаруживается, что в гармонической системе после сесквиальтеры 2, 3 следует сесквитерца 3, 4; а сесквиальтера была формою диссонанса ноны, которая подложена под 3, и была формою приуготовления ноны. Стало быть, сесквитерца 3, 4 должна быть формою разрешения ноны. Стало быть, музыкальная нота, которая в точности должна разрешить нону, должна быть закрытою музыкальною нотой, поставленною непосредственно после D-la-sol-re, что есть нона, ибо в верхней гармонической системе после G-sol-re-ut 3, образовавшего сесквиальтеру с 2, следует непосредственно C-sol-fa-ut 2, образующий сесквитерцу с 3, и которому в унисон подложенный закрытый C-sol-fa-ut. Продолжая этим способом доказательство, находим, что F-faut, ундецима, разрешается в закрытый E-la-mi, в унисон с E-la-mi верхней гармонической системы. G-sol-re-ut, избыточная дуодецима, разрешается в G-sol-re-ut натуральный закрытый, в унисон с G-sol-re-ut 6 верхней гармонической системы, и пр.

Возвращаясь тем же показательным способом к двум музыкальным нотам — C-sol-fa-ut 2 верхней гармонической системы и C-sol-fa-ut, первой ноте диссонантной системы, которая есть в острой октаве к наложенному, — находим, что эта октава в диссонантной системе разрешена в G-sol-re-ut закрытый, в унисон с G-sol-re-ut верхней гармонической системы, так что в этом образце та же октава являет фигуру диссонанса. И это потому, что в верхней гармонической системе есть предшествующая октава 1, 2, каковая, долженствуя соединиться одновременно во всеобщей гармонии, по необходимости даёт две октавы, то есть четверную в геометрической пропорции, как здесь видно:

[нотный пример]

и потому в пятом музыкальном Каноне есть оговорка, исключающая (более по употреблению, нежели по основанию) октаву. Не будучи действительным диссонансом, как я там сказал, её переход в G-sol-re-ut нельзя назвать разрешением. Но достоверно, что геометрическая дупла 2, 4 обращается и переходит в гармоническую сесквиальтеру 2, 3. А музыкальные ноты разрешения диссонансов тождественны музыкальным нотам гармонической системы, как видно в закрытых нотах примера 4, здесь приведённого. Стало быть, все вышесказанные диссонансы разрешаются в своё начало, к которому возвращаются сообразно по тому же закону, по которому вышли. Но невозможно (как очевидно), чтобы они в него возвращались иначе, нежели нисходя сообразно на тон и полутон (за исключением всегда октавы); стало быть, в практике именно так должно действовать в разрешении диссонансов, как и действуют, ибо так учит и доказывает настоящая система. Да будет же восьмой музыкальный Канон, заключающий всё доказанное доселе о диссонансах: *что диссонанс должен быть приуготовлен консонантною унисонною нотой и должен быть разрешён в консонантную ноту, которая сообразно диссонансу нисходит на тон или полутон.*

Завершив доказательства музыкальных примеров 2, 3, 4 и увидев тем в общем природу двух систем, консонантной и диссонантной, полезно сойти к частностям, дабы наконец прийти к составлению верного понятия о музыкальных консонансах и диссонансах.

Достоверно, во-первых, что в настоящей системе интервалы, или отношения октавы, квинты, кварты и пр., не могут считаться консонантными иначе, как неотделимыми от шестичленной гармонической [совокупности], коей они суть составные части; и достоверно, что на практике их считают консонантными сами по себе, как первые элементы, составляющие шестичленную. Поскольку же ошибки в системе быть не может, она по необходимости в практике.

Даны в контрапункте две следующие части, и спрашивается: интервал квинты, образованный D-la-sol-re Тенора с C-sol-fa-ut Баса, и интервал, образованный G-sol-re-ut Баса с D-la-sol-re Тенора, и F-faut Баса с D-la-sol-re Тенора — консонантен он или диссонантен? Что бы из двух ни утверждалось — это ошибка, ибо консонантного столько же, сколько и диссонантного, в законном, строгом смысле контрапункта. Вот как обстоит пример: две вышесказанные квинты консонантны, но не в силу интервала квинты;

[нотный пример]

а в силу всего сопровождения гармонии, то есть терции, квинты, октавы, которое разумеется неотделимым от G-sol-re-ut и F-faut как основного Баса. И это сопровождение выведено из шестичленной, как будет видно в своём месте. К тем же двум частям подложим третью часть, как в примере, —

[нотный пример]

и вот те же две квинты диссонантны в тех же самых точных музыкальных нотах. Стало быть, тот же тождественный интервал и консонантен, и диссонантен сообразно различному соотношению со всею гармонией. Стало быть, чтобы определить его как консонантный или диссонантный, надлежит предположить всю гармонию. Но это есть шестичленная. Стало быть, ошибка в практике, истина в настоящей системе.

Достоверно, во-вторых, что настоящею системой определяется в частности большее или меньшее совершенство каждого отношения, входящего в шестичленную гармоническую. Дупла, или октава, есть потенциальное начало гармонической системы и есть a priori. Стало быть, она совершеннейшее из всех консонантных отношений. Сесквиальтера, или квинта, есть действительное начало гармонической системы, коего она определяющее отношение. Квинта, стало быть, будет совершеннейшим консонантным отношением и будет иметь бо́льшую физическую силу, нежели октава. Чтобы открыть природу последовательных отношений, вернёмся к музыкальным примерам 2, 3, приложенным к Фигуре VII, и заметим вновь то, что уже было замечено. В примере 2 после квинты C-sol-fa-ut 2, G-sol-re-ut 3 следует сесквитерца, или кварта, образованная G-sol-re-ut 3, C-sol-fa-ut 4. В сравнении с G-sol-re-ut 3 в музыкальном примере 3 находится G-sol-re-ut 40, показанный гармоническою серединой дуплы, образующий квинту с нижним членом C-sol-fa-ut. В этом сравнении квинта всегда оказывается гармонической и в примере 2, и в примере 3. В сравнении же с C-sol-fa-ut 4 примера 2 находится в примере 3 F-faut 45, показанный арифметическою серединой той же дуплы, образующий кварту с тем же нижним членом C-sol-fa-ut. В этом сравнении кварта в примере 2 гармоническая, в примере 3 арифметическая. Стало быть, двойной природы. Стало быть, она не может быть совершенным отношением, будучи общею двум системам в сравнении. Стало быть, сесквитерца, или кварта, есть несовершенное консонантное отношение.

[нотный пример]

После кварты следует в примере 2 сесквикварта, или большая терция, образованная C-sol-fa-ut 4, E-la-mi 5. В сравнении в примере 3 находится E-la-mi 45, показанный гармоническою серединой сесквиальтеры, образующий большую терцию с нижним членом C-sol-fa-ut. В этом сравнении большая терция всегда оказывается гармонической и в примере 2, и в примере 3. Стало быть, сесквикварта, или большая терция, есть совершенное консонантное отношение.

После неё следует в примере 2 сесквиквинта, или малая терция, образованная E-la-mi 5, G-sol-re-ut 6. В сравнении в примере 3 находится E-la-fa 50, показанный арифметическою серединой сесквиальтеры, образующий малую терцию с нижним членом C-sol-fa-ut. В этом сравнении малая терция в примере 2 гармоническая, в примере 3 арифметическая. Стало быть, двойной природы. Стало быть, она не может быть совершенным отношением, будучи общею двум системам в сравнении. Стало быть, сесквиквинта, или малая терция, есть несовершенное консонантное отношение.

[нотный пример]

Тому, что выведено о совершенстве квинты и большой терции и о несовершенстве кварты и малой терции, физически соответствует струна, единая в трёх звуках; ибо два звука созвучия 3, 5 тождественны G-sol-re-ut 3 (пример 2), образующему квинту с C-sol-fa-ut 2, и E-la-mi 5, образующему большую терцию с C-sol-fa-ut 4. Если природа включает 3, 5 и исключает 4, 6 (C-sol-fa-ut образует кварту с G-sol-re-ut 3, а G-sol-re-ut 6 образует малую терцию с E-la-mi 5), то это физический знак совершенства одних отношений и несовершенства других. Стало быть, физически и доказательно так и есть, как выведено.

Не так на практике. Настоящая система согласна с практикой в октаве и квинте как совершенных консонантных отношениях. Не согласна в остальном — то есть в кварте и двух терциях, большой и малой. Кварту на практике понимали и понимают то консонантной, то диссонантной из-за двусмыслицы, изъяснённой в другом месте. Две терции называют несовершенными консонансами, ибо они могут изменяться музыкальными случайными знаками диеза и бемоля, обращая большую терцию через бемоль в малую, малую терцию через диез — в большую:

[нотный пример]

Это понятие ошибочно. Кварта есть консонантное отношение, как и все прочие, заключённые в шестичленной гармонической; и она несовершенна, ибо двойной природы в сравнении. А что две терции мыслятся изменяемыми музыкальными случайными знаками и потому суть несовершенные консонансы — это противоречит двум системам, гармонической и арифметической; и потому я решительно отрицаю их возможное изменение в таком смысле и понятии. В приведённом практическом случае не малая терция изменяется в большую и не большая в малую, но изменяется одна система в другую, и переходят от гармонии большой терции к гармонии малой терции (и так же наоборот) не только из-за изменённой терции, но из-за изменённого порядка отношений. И потому терция уже не та, что в соответствующей системе, но терция вовсе иная. Вот яснейший пример:

[нотный пример]

большая терция арифметической системы, большая терция гармонической системы, малая терция гармонической системы, малая терция арифметической системы.

Стало быть, ложно практическое понятие о возможном изменении двух терций, и в следствие ложен вывод, будто они потому суть несовершенные консонансы. Остаётся, стало быть, истинным, что большая терция есть совершенное консонантное отношение, ибо внутренне гармоническая; малая терция есть несовершенное консонантное отношение, ибо общая двум системам в сравнении.

Из этих двух практических примеров и из того, что установлено в системе, две вещи становятся более чем очевидны. Первая та, что в этой системе уже не имеет места то самое противоположение, в котором целиком содержится доныне бытовавшее понятие о музыкальной системе, а именно: что тритон, избыточная секста, уменьшённая секунда — интервалы, составленные всего из двух голосов или звуков, — сами по себе и независимо от какой-либо системы неприятны слуху; и наоборот, октава, квинта, кварта, две терции и пр. — интервалы, равно составленные всего из двух голосов или звуков, — сами по себе приятны слуху. Такого противоположения здесь нет; напротив, это очевиднейшее доказательство истинности системы. Вообще тритон не образуется иначе, как при данной музыкальной гамме. Музыкальной же гаммы нет иначе, как при данной шестичленной гармонической. Это будет видно в следующей Главе. В частности, тритон получается из диатонического рода — рода первого и всеобщего, ибо непосредственно выведенного из шестичленной гармонической. Избыточная секста, уменьшённая секунда и пр. получаются из двух родов, хроматического и энгармонического, — родов подчинённых и выведенных. Это равно будет видно в следующей Главе. В отдельности же говорю, что тритон постольку неприятен слуху, поскольку нижняя нота F-faut делит арифметически октаву C-sol-fa-ut, c-sol-fa-ut, а верхняя нота B-mi делит гармонически квинту G-sol-re-ut, D-la-sol-re; то есть ту квинту, что основана на G-sol-re-ut, гармоническом делителе той же октавы C-sol-fa-ut, c-sol-fa-ut. Соединение этих двух средних, в котором основою и основанием гармонии остаётся нижняя нота F-faut, противно гармонической системе, из коей должны выводиться цельная гармония и её основа. Когда, стало быть, обращают существенный порядок и в низ полагают член, по природе арифметический, в сравнении с членом острым, по природе гармоническим, — достоверно с доказательною достоверностью, что в положении есть противоречие. Стало быть, будет достоверно с физическою достоверностью, что такой интервал будет неприятен слуху. Положение моё столь точно истинно, что, поставив основою, или нижним членом, B-mi, который есть гармонический, а острым — F-faut, который есть арифметический, интервал теряет свою жёсткость так совершенно, что, поставленный для сравнения с обратным, всякий слышит весьма приметную разницу. Но всё это — доказательство всеобщей системы, коего оно вывод и следствие; и так же сообразно природе прочих интервалов. Стало быть, и пр.

Вторая очевидная вещь есть следствие, и это есть необходимость выводить внутреннюю природу консонансов, их совершенство и несовершенство из цельной гармонии, а не из частей, или входящих отношений.

Эта цельная гармония есть шестичленная вообще, как было показано; в частности — шестичленная гармоническая, из коей гармония большой терции; шестичленная арифметическая, из коей гармония малой терции. Из этих двух гармоний совершеннейшая и непосредственно требуемая природой (как ясно из явлений) есть гармония большой терции, то есть шестичленная гармоническая, в сравнении с коей гораздо менее совершенна гармония малой терции, то есть шестичленная арифметическая. Стало быть, поскольку от большего или меньшего совершенства гармонии зависит сообразно действие, которое есть консонанс, надлежит исследовать, в чём состоит бо́льшее совершенство шестичленной гармонической. Оно состоит в бо́льшем и совершеннейшем единстве её начала и её показательного гармонического корня, который есть круг, совершенно единый в себе самом, коему физически и тождественно соответствует третий тон как физико-гармонический корень, совершенно единый в себе самом. Не так шестичленная арифметическая. Её начало есть диаметр как сама по себе прямая линия и как делимая на равные, а потому арифметические части. Очевидно при выведении синусов доказательно невозможном иначе, как предполагая диаметр разделённым на равные части. И в самом деле, арифметическая система, доказательно выведенная в настоящей системе, выведена через сумму равных частей, которые суть остатки, или дополнения гармонических дробей. Эти суть всегда единства по своей внутренней природе; те суть всегда суммы единств по своей внутренней природе. И это есть коренное различие двух систем, какое по существу сводится к двум фигурам — вписанный Круг, описанный Квадрат, — то есть к первому положению настоящей системы. Гармония большой терции происходит из круга, показанного по внутренней природе гармоническим. Гармония малой терции происходит из квадрата, показанного по внутренней природе арифметическим. Природе круга соответствуют физико-гармонические явления. Природе квадрата соответствуют физико-арифметические явления, среди коих литавра, или барабан, и всякий звучащий цилиндр. Насколько круг более един в себе самом, нежели квадрат, настолько гармония большой терции совершеннее гармонии малой терции, и сообразно — части, входящие в соответствующую гармонию. Ибо, хотя и верно, что входящие отношения двух шестичленных, гармонической и арифметической, суть одни и те же — то есть октава, квинта, кварта, большая терция и малая терция, — однако не верно, что октава арифметической шестичленной равна по совершенству октаве гармонической шестичленной. В двух системах порядок есть существо и вещь действительная, и потому октава, поставленная в наинизшем месте гармонической шестичленной, более едина и в следствие совершеннее октавы, поставленной в наиостром месте арифметической шестичленной, и так же сообразно всех входящих отношений. К тому же я неправильно называю эти отношения входящими в две шестичленные. По строгости доказательства они входят в гармоническую шестичленную, коей суть части; они суть составляющие арифметическую шестичленную, которая есть их сумма. И потому они тем более суть единства, внутренне принадлежащие своему целому в гармонической системе, нежели в системе арифметической.

Предпослав такие понятия и изъяснения, по необходимости определяю гармонию большой терции как физико-гармоническое цельное единство голосов или звуков, заключённых в шестичленной. Гармонию малой терции — как физико-арифметическое цельное единство голосов или звуков, заключённых в шестичленной. Сообразно — отношения гармонии большой терции как физико-гармонические единства голосов или звуков, входящих в шестичленную. Отношения гармонии малой терции как физико-арифметические единства голосов или звуков, составляющих шестичленную. И если это суть верные определения, соответствующие двум системам, гармонической и арифметической, то гармонию диссонантной системы должно будет определить как физико-геометрическое единство голосов или звуков, основанных в шестичленной.

Сколь далеки эти определения от доныне бытовавшего понятия о консонансах и диссонансах, Вы, Господин Граф, видите и разумеете. Но поскольку в этих определениях нет ничего от моего произвола, а всё — от физической и доказательной необходимости, по необходимости должно сменить старое понятие на новое.

Скажут, что таким образом определена гармония, а не консонанс и диссонанс. Отвечаю, что консонанс и диссонанс есть неотделимое от соответствующей гармонии действие; и потому, определив причину, определено и действие, и сообразно причине следует действие. От совершеннейшего единства как причины — совершеннейший консонанс как действие, и потому приятнейший слуху. От единства менее совершенного — консонанс менее совершенный, и потому менее приятный слуху. Так сообразно — целое и части каждой системы. Заметим только, что никогда не была хорошо понята диссонантная система не только в причине, но даже и в действии, которое ведь зависит от чувства. Диссонанс определили как созвучие голосов или звуков, неприятное слуху. Я призываю в судьи весь музыкальный мир здравого смысла, и пусть мне скажет, поистине ли хорошо расположенная гармония ноны, ундецимы (или кварты), терцдецимы (или сексты), квартдецимы (или септимы) — все диссонансы — есть нечто неприятное слуху. Это физически невозможно, ибо в своём роде она едина и она в круге. Она прекрасно имеет своё приятное в себе самой и лишь поставленная для сравнения с гармонией малой терции, и гораздо более с гармонией большой терции, даёт познать своё отличие. Из чего да поймут, могли ли определения консонансов и диссонансов зависеть от чувства слуха. Вот истинное сравнение и истинное понятие.

В звучащей струне монохорда, в звучащей висячей струне, соразмеренной с квадратными числами равных грузов, единство равновременных колебаний есть общее всем трём пропорциям: гармонической большой терции, арифметической малой терции, геометрической диссонансов. В гармонической пропорции 1, 2, 3 и пр. в струне монохорда и грузов 1, 4, 9 и пр. в звучащей висячей струне общеизвестно единство равновременных колебаний. Поскольку обращение гармонической пропорции есть пропорция арифметическая, физически происходит то же самое, и довольно поразмыслить, чтобы это стало ясно. В геометрической пропорции 4, 5, 9, а равно 9, 11, 16 и пр. должно происходить то же в силу гармонической прогрессии 4, 5, 6, 7, 8, 9 и пр., из коей, отделив 5, 7, 8, остаётся 4, 6, 9; и то же скажем о 9, 12, 16 и пр. Если колебания целой гармонической прогрессии от 4 до 9 все вместе равновременны, они будут равно [равновременны] и отдельные, и разделённые каким угодно образом. Стало быть, единство колебаний, или равновременных колебаний, есть всеобщий род единства, в котором сходятся все три вышесказанные гармонии. Причина a priori есть круг, из которого они вообще происходят и в котором заключены, и он есть причина как единое по своей внутренней природе; чему нисколько не препятствует то, что колебания маятников отклоняются от круговой линии грузом, эксцентрически падающим при возврате к своему центру; но довольно, что круговым является его начало, что физически ясно. В силу этого общего начала единства явно ложно положение, будто равновременные колебания суть причина консонансов, а противное им — диссонансов; и нет нужды в доказательстве. Не сходятся и не могут сходиться диссонансы с консонансами в единстве как начале количества. Начало гармонической природы есть единство как целое; арифметической природы — единство как наименьшая часть. Поскольку геометрическая природа составлена из двух природ, гармонической и арифметической (это показано при образовании синусов), она имеет своё начало в двойственности, а не в единстве. Стало быть, и пр. Не сходятся диссонансы в единстве физического корня третьего тона с консонансами гармонической системы, коей собственное и особое свойство есть физический корень третьего тона — с исключением не только диссонансов, но ещё и консонансов арифметической системы, как показано в своём месте. Не сходятся, наконец, диссонансы с консонансами в единстве шестичленного периода и завершения, в коем сходятся между собою гармоническая и арифметическая системы. Зависят же они от круговой природы шестичленной, коей суть законные выводы.

Консонансы же арифметической системы, или гармония малой терции, сходятся с гармонией большой терции и с диссонансами в общем роде единства равновременных колебаний. Сходятся в единстве с гармонией большой терции в частном роде шестичленной протяжённости, и в следствие отношений (хотя и обратных), составляющих шестичленную, равных входящим в гармоническую шестичленную. Сходятся равно с гармонией большой терции в единстве как первом начале количества; хотя это [единство] как наименьшее, а то как наибольшее. Различное соотношение не уничтожает внутренней природы общего начала, которое есть единство, и то же скажем об обратных отношениях шестичленной протяжённости. Является, к тому же, что, наблюдая число равновременных колебаний арифметической шестичленной, она в этом отношении сходится в единстве с гармонической системой, ибо вышесказанные числа, конечно, в гармонической прогрессии. Является, но не есть; напротив, достоверно, что есть ошибка в общем способе понимать число колебаний.

[нотный пример]

Если число колебаний неотделимо от дуг, образованных колебаниями, и в следствие от площади, заключённой дугами, то достоверно с доказательною достоверностью, что в гармонической пропорции 1, 2, 3 и пр. суммированные площади дуг колебаний находятся в той же пропорции 1, 2, 3 и пр.; а в арифметической пропорции 1, 2, 3 — в той же пропорции 1, 2, 3 и пр. Вот доказательство.

[математическая выкладка — опущена] Пока AB колеблется однажды по дуге AFB, AC колеблется дважды по дуге AGC, AD трижды по дуге AHD. Но само собою доказано из квадратов, что площадь дуги AGC есть ¼ площади дуги AFB; площадь дуги AHD — ⅑ площади дуги AFB. Стало быть, AC, колеблясь дважды, пока AB колеблется однажды, образует две дуги AGC по ¼ каждая в их площадях. Стало быть, суммированные, они дадут ½, и так же сообразно AD. Стало быть, пока AB производит в своей дуге площадь 1, AC производит в своих двух дугах площадь 2, AD в своих трёх дугах площадь 3 и пр. Стало быть, суммированные площади дуг остаются в гармонической пропорции, как и линии, производящие дуги.

[нотный пример]

Не помогает и возражение, какое можно сделать, говоря, что неизвестно, суть ли дуги дугами круга или кривой вообще, и потому доказательство предполагает то, что должно предварительно доказать. Это нисколько не помогает, ибо нисколько не отменяет вышесказанного доказательства, которое ничего иного не доказывает и не должно доказывать, кроме того, что площадь дуги AFB относится к площади дуги AGC как 1 к ¼, к [площади] дуги AHD как 1 к ⅑. Будь то дуги круга, будь то дуги кривой вообще, они всегда будут подобными дугами. Стало быть, между их площадями всегда будет доказанное отношение. Это доказав и предпослав; что число колебаний струн в гармонической прогрессии всеобще называют находящимся в арифметической прогрессии 1, 2, 3, 4 и пр., ибо, пока струна 1 колеблется однажды, струна 2 колеблется дважды, струна 3 трижды и пр.; и пусть это считают хорошо сказанным и понятым, коль скоро суммированные площади дуг колебаний доказательно находятся в гармонической прогрессии; коль скоро число 2 не означает ничего иного, кроме двух колебаний 2, равновременных одному колебанию 1, и потому как суммированных, число 3 — трёх равновременных колебаний 3, и потому как суммированных, и пр.; коль скоро то же число есть доказательный знак количества неравных частей в строгом смысле счёта колебаний, все неравных (случай, в котором становится нелепым отвлечение числа колебаний от их количества, ибо они не имели бы того числа, не будь они столь многими, сколь суть); — если это не ошибка, то не знаю более, что бы могло быть ошибкой. Но всё это мимоходом.

В двух родах единства не сходится и не может сходиться гармония малой терции с гармонией большой терции, а именно в физическом корне третьего тона и в отношении к соответствующему началу. Физический корень третьего тона, как сказано, есть особое свойство гармонической системы, которая имеет своим непосредственным началом круг, что есть её показательный корень. Арифметическая система не имеет и не может иметь такого корня, ибо имеет своим коренным началом квадрат. Отсюда в следствие различное отношение, ибо различно начало. Остаётся, стало быть, что одна лишь гармония большой терции имеет в себе самой пять родов единства; и суть они: единство колебаний, шестичленного периода, первого начала количества, физико-гармонического корня третьего тона и непосредственного отношения к кругу как единому. Отсюда её особое и отличное совершенство. Арифметическая система, или гармония малой терции, имеет в себе самой три рода единства; и суть они: единство колебаний, шестичленного периода и первого начала количества. Геометрическая система, или [система] диссонансов, имеет в себе самой один-единственный род единства, и это единство колебаний. Пять, три и один, и всё в круге. На этом довольно о третьей Главе, которая чуть не вышла Трактатом.

Глава IV. О гамме и о практическом музыкальном роде. Происхождение, употребление и следствия

С гармонией сопряжена мелодия, или кантилена. Из гармонии ли [происходит] кантилена, или из кантилены гармония — видно было в предшествующей Главе, в гармонической системе, в коей целое, что есть гармония и цельное единство, должно предполагаться прежде частей, из коих получается кантилена. То же будет видно в настоящей Главе. Различие между гармонией и кантиленой состоит в том, что в гармонии голоса или звуки равновременны, ибо все суть в цельном единстве, и потому все в одно и то же время. В кантилене голоса или звуки последовательны, ибо суть не в цельном, но в отдельном единстве; и потому суть не в одно и то же время, но последовательно. Практический образец кантилены есть общая гамма большой терции, из коей выведена гамма малой терции.

[нотный пример]

В этой гамме находятся так называемые наименьшие музыкальные составляющие, то есть тоны и полутоны: тоны, образованные двумя отношениями — сесквиоктавой и сесквиноной; полутоны — отношением сесквидецимаквинтой. Первый тон, отмеченный ниже, в отношении сесквиоктавы, второй в сесквиноне, третий в сесквиоктаве, четвёртый в сесквиноне, пятый в сесквиоктаве; и потому три сесквиоктавы, две сесквиноны. Первые называются бо́льшими, вторые меньшими сообразно отношению. Два полутона, отмеченные выше, в отношении сесквидецимаквинты, и называются бо́льшими, ибо есть ещё другой практический полутон, который рождается от диеза, прибавленного к натуральной ноте, каковой в отношении сесквивентезимакварты и потому меньше натурального полутона гаммы.

[нотный пример]

Этою гаммой и такими наименьшими составляющими мы обязаны древним грекам и приняли её как наилучшую, ибо она простейшая и сообразная природе. Говорю — простейшая, ибо греки покушались на употребление составляющих ещё более малых и потому разделили кантилену на три рода: диатонический, хроматический, энгармонический. Вышеотмеченная гамма есть натуральная диатонического рода, и потому полутон в отношении сесквидецимаквинты есть наименьший интервал диатонического рода. Другие полутоны меньшего отношения употребляли греки, но отделили их от диатонического рода и образовали хроматический род. Другие, ещё меньшие, — и образовали энгармонический род. Из этих трёх родов диатонический есть простейший и сообразный природе; и как был во всеобщем владении у древних греков, так пребывает спустя тысячи лет и у нас, новых, и будет всегда. Ибо, когда на практике употребляют интервал меньше сесквидецимаквинты, слух исполняющего и слушающего не выносит столь тонкого и малого созвучия. Опыт это являет, ибо на практике слишком уж смешивают полутон отношения сесквидецимаквинты с полутоном отношения сесквивентезимакварты, хотя и этот сообразен природе. Это и есть истинная причина, по которой вовсе оставлен энгармонический род и удержан диатонический, то есть величайшая лёгкость исполнения этого и величайшая трудность исполнения того. Этого довольно для достаточного наставления о том, что́ древними, общею практикой и всеобщим согласием установлено, без того чтобы пускаться в излишнюю учёность и в изъяснение и образование двух родов, хроматического и энгармонического, — дело тем более бесполезное, что в настоящей Главе мы увидим показательный источник каждого рода не по именам, наложенным греками, но по их внутренней природе.

Поступая по моему методу, я обязан вывести из настоящей системы ту же гамму и те же роды, если такая гамма и такие роды требуются природой. Замечу наперёд, что физически и доказательно достоверно, что гамма охотничьих рогов, духовых труб и [трубы] марины не есть в точности вышеотмеченная гамма; а между тем в таких инструментах нет места человеческому произволу, но одна лишь природа. Вот две гаммы в сравнении:

Гамма вышесказанных инструментов:

[нотный пример]

Общая практическая гамма:

[нотный пример]

Во-первых, в гамме вышесказанных инструментов есть одна музыкальная нота сверх, что есть седьмая нота, какой нет и не может быть в общей практической гамме. Во-вторых, четвёртая и шестая ноты нижней общей гаммы не согласуются с соответствующими верхней гаммы; и потому я не поставил здесь соединительной линии, как во всех прочих, которые согласуются между собою в унисон и тождественны доказательно. Ибо там, где в верхней гамме есть отношение 11 к 10 между двумя нотами, третьей и четвёртой, в нижней гамме между двумя соответствующими нотами, третьей и четвёртой, есть отношение 16 к 15, то есть больший полутон. Где в верхней гамме есть отношение 13 к 12 между двумя нотами, пятой и шестой, в нижней гамме между двумя соответствующими нотами, пятой и шестой, есть отношение 10 к 9, то есть меньший тон. Стало быть, заключаю, что доказательно и физически невозможно вывести общую практическую гамму из гармонической гаммы вышесказанных натуральных инструментов.

Но поскольку в настоящей системе всё выведено из физического и показательного начала цельной гармонии, я обязан изыскать такое выведение в самих этих началах. Первое показательное начало есть дупла вообще. Из неё, приведённой к дискретной геометрической пропорции со всеми четырьмя средними, показано (предложение шестое, Фигура VII), что происходит шестичленная протяжённость, коей квадратными корнями суть крайний и средние дуплы. И потому в дупле и в её средних, как в корнях, пребывает цельная шестичленная гармония. Но корни доказательно суть то же, что физически основы гармонии, то есть основные Басы. Стало быть, все вышесказанные члены, поскольку все равно квадратные корни, суть основы гармонии. И это вообще.

От этого предложения зависит внутреннее понятие о природе уменьшённой квинты, которая на практике употребляется как основной Бас.

[нотный пример]

Её показательный корень есть геометрическая середина

[нотный пример]

и потому по справедливости она на практике есть основной Бас, ибо стоит между бо́льшим полутоном и полутоном, образованным первыми числами 21, 20, в отношении 63 к 64. Впрочем, внутреннее показательное определение целого тона больше явствует из произведения, и доказательство станет ясным в произведении.

[математическая выкладка — опущена: разложение через числа 14, 15, 20, 21 и доказательство сесквиоктавы 8:9 через произведения]

В частности же, и даже с полной точностью, в музыкальных примерах 2, 3, 4, приложенных к Фигуре VII, обнаруживается, что музыкальные ноты 40, 45 примера 3 (показанные как гармоническая и арифметическая середины дуплы 30, 60) суть основы гармонии, ибо они основные Басы двух соответствующих нот 3, 4 примера 2 и соответствующих нот D-la-sol-re, F-faut примера 4.

[нотный пример]

Так же точно происходит и с двумя музыкальными нотами 48, 50 примера 3 (показанными как гармоническая и арифметическая середины сесквиальтеры 40, 60), которые суть основы гармонии, образованной двумя соответствующими нотами 5, 6 примера 2 и двумя нотами G-sol-re-ut, B-fa примера 4.

[нотный пример]

Даже с большей точностью обнаруживается, что в гармонии, зависящей от двух середин дуплы, нет больших терций, ибо они принадлежат сесквиальтере, то есть квинте, гармонически разделённой; и рукою осязается различие между гармонией, исходящей от основного Баса двух середин дуплы, и гармонией, исходящей от основного Баса двух середин сесквиальтеры. Это поистине два различных рода гармонии. Ибо первая, исходящая от двух середин дуплы, хотя и стоит в гармонической пропорции относительно соответствующих членов, выведенных показательно, но такая гармония ещё не определена и не оформлена; и это настолько верно, что она может быть приведена к гармонии малой терции прибавлением к тем же членам закрытых музыкальных нот.

[нотный пример]

Но не так обстоит с гармонией, исходящей от двух середин сесквиальтеры, ибо этот род определён и оформлен в гармонию большой терции соответствующими членами, выведенными показательно. И вот практически доказана основа настоящей системы в двух отношениях: дупла — гармоническая потенция, и потому начало потенциальное; сесквиальтера — гармонический акт, и потому начало деятельное системы. И ясно, что из этих двух родов гармонии первый есть наибольшей простоты, ибо он в дупле; второй меньшей простоты, ибо он в сесквиальтере. Равно ясно, что эти два рода пребывают в трипле как в отношении системы, ибо они заключены крайними 2, 6 примера 2.

Положив это и установив, делается очевидным происхождение общей диатонической гаммы. Перенесём гармонию шестичленной гармонии — не всю, ибо она была бы избыточна, но лишь ту её часть, которая определяет гармоническую систему, — на три первые музыкальные ноты примера 3, уже установленные природою основных Басов. Часть гармонии, определяющая гармоническую систему, есть квинта, то есть сесквиальтера, гармонически разделённая. Три первые музыкальные ноты примера 3 суть крайний и две середины, гармоническая и арифметическая, дискретной геометрической дуплы 6, 8, 9, 12.

[нотный пример]

Перенос той части гармонии есть не дело произвола, но необходимости, ибо, поскольку шестичленная гармоническая система примера 2 есть первая и преимущественно требуемая природою, а система примера 3 происходит из остатков первой, она не может иметь иного закона гармонии, кроме определённого первою, которая есть её начало и её причина. Стало быть, гармония трёх первых музыкальных нот примера 3 будет вышеуказанная.

Говорю, что в этих трёх гармониях обнаруживается происхождение общей диатонической гаммы с точностью музыкальных нот и с точностью отношений. Точность музыкальных нот очевидна, ибо, отделив ноты от трёх соответствующих гармоний, а затем соединив их последовательно между собою сообразно практической идее гаммы по линейкам и промежуткам, в строгости показательной выйдет гамма.

[нотный пример]

И в виде следствия, начиная с первой музыкальной ноты C-sol-fa-ut и перенося низкие ноты в высокую октаву, выйдет общая гамма.

[нотный пример]

Стало быть, гамма происходит от гармонии, а не гармония от гаммы. Стало быть, в музыкальной системе тоны и полутоны — не наименьшие составляющие, но наименьшие последовательные части, образующие целое.

Что эта гамма есть общая с точностью отношений, доказывается.

[математическая выкладка — опущена: вывод гаммы в числах 180, 144, 220 и т. д.]

Стало быть, она будет гаммой.

[нотный пример]

Стало быть, она равна общей гамме с точностью отношений.

Открыв и установив происхождение гаммы, рассмотрим её употребление. Гамма, которую поистине употребляют, есть вышесказанная с точностью музыкальных нот, но не с точностью отношений. Причина тому — орган и клавесин, поставленные обычаем правителями и распорядителями музыкальной гармонии. На деле органный Бас заключает в себе всю гармонию; и поющие, и играющие согласуются с органом, дабы верно интонировать. Но орган и клавесин (если не умножать клавиш сверх меры) не имеют иного совершенно настроенного интервала, кроме октавы; а почти все прочие интервалы — квинты, кварты, большие и малые терции, тоны и полутоны — настроены по разделительной темперации, а не сообразно отношению, то есть форме соответствующего интервала. Стало быть, невозможно употребление вышесказанной гаммы с точностью отношений, ибо при такой необходимой темперации отношения остаются изменёнными в своей форме. Чтобы иметь о том конкретное понятие: на органе или клавесине три большие терции и четыре малые терции должны восполнить и составить октаву.

[нотный пример]

Показательно три большие терции не доходят до того, чтобы составить октаву.

[математическая выкладка — опущена: 64. 80. 100. 125. — три большие терции; 64 — октава 128. И: 625. 750. 900. 1080. 1296.; 625 — октава 1250 — четыре малые терции превышают октаву]

Стало быть, при темперации надобно увеличить форму 4, 5 больших терций, дабы они дошли до октавы; надобно уменьшить форму 5, 6 малых терций, дабы они не превышали октавы. Хуже всего то, что эта темперация не имеет определённого закона. Кто хочет её ровной, кто более, кто менее долевой, кто больше в одном месте, нежели в другом. И это настолько верно, что ныне и в Италии, и вне Италии много трудятся над тем, чтобы найти ту разумную темперацию, в которой сошлись бы и согласились народы (в этом между собою разногласящие), которые сообща употребляют эту музыку и эти инструменты. Но дело безнадёжно, ибо нет места темперации в форме отношений системы; и притязать исказить отношения разумом — явное противоречие. Этот случай нуждается более в благоразумии, нежели в чём ином; и я бесконечно хвалю суждение отца Валлотти, нашего Учителя, как самое разумное из всех, ибо самое благоразумное. Он говорит, что белым клавишам органа должно оставить всё их природное совершенство — и потому, что они природные диатонического рода, и потому, что именно ими в церковном служении пользуются более всего, — сведя наибольшее несовершенство к тем чёрным клавишам, что наиболее удалены от диатонического рода и почти не употребляются. Сверх того он замечает, какое удовольствие проистекает при игре на органе (а он был и превосходнейшим исполнителем, как ныне есть превосходнейший композитор и истинный Мастер своего искусства) от сравнения большего и меньшего совершенства созвучий относительно различных модуляций, которые встречаются. Будь темперация ровной, или немного больше, немного меньше, не было бы, конечно, этой светотени, которая на практике производит наилучшее действие. Так он разумеет, и, по моему суждению, настолько хорошо, что нет разумного ответа против. Я же на моей Скрипке, где, играя двойными нотами, могу физически встретить форму интервала, физическим показательным знаком которого есть тот третий звук, что должен из него возникнуть, — имею преимущество для себя и для моих учеников верной интонации, а вследствие того и подлинного употребления вышесказанной гаммы с точностью отношений. Надобно, однако, заметить, что эта гамма, хотя и выведена показательно, не совершенна вполне при всяком возможном сравнении составляющих её музыкальных нот. Между D-la-sol-re 180 и A-la-mi-re 108, музыкальными нотами, есть квинта, то есть сесквиальтера, форма которой — 3, 2. Но сравнивая 180, 108 с формою 3, 2, получаем разницу 80, 81. Стало быть, на столько превышает A-la-mi-re или недостаёт D-la-sol-re, чтобы быть совершенной квинтой. То же происходит между D-la-sol-re, F-faut, малой терцией в музыкальных нотах. Но форма малой терции есть 5, 6, а числа, показательно полученные, суть 160, 135; и сравнённые с формою 5, 6, дают ту же разницу 80, 81, на которую либо превышает F-faut, либо недостаёт D-la-sol-re. Это разностное отношение 80, 81 есть та знаменитая музыкальная комма, о разделении которой ради темперации настройки столько спорили и спорят ещё. Я же оставляю её на своём месте, где природа положила её, не помышляя её делить; и лишь замечаю (ибо к тому подаётся случай), что в вышесказанной гамме это несовершенство обретается не в гармонии большой терции вообще,

[нотный пример]

но в гармонии малой терции — и притом не в роде вообще, ибо

[нотный пример]

гармония малой терции в совершенных отношениях; но в виде и в точности несовершенна, ибо зависит от F-faut, который есть арифметическая середина дуплых крайних гаммы; как, напротив, другая совершенна, ибо зависит от G-sol-re-ut, гармонической середины вышесказанных дуплых крайних, и от C-sol-fa-ut, главного члена дуплы. Это новый показательный знак совершенства гармонической системы и несовершенства арифметической. Ничего более не утверждаю на сей счёт, в коем буду ждать, чтобы согласилось всё музыкальное Сословие.

Перехожу к следствиям, что значит — к существу контрапункта, целиком заключённого в гармонии и в гамме. Оно будет мною раскрываемо и изъясняемо во всех своих частях, которых много, и существенных, и относящихся ко всей системе. Чтобы упорядочить речь, изложу наперёд то, что есть как бы общее практическое понятие; а именно: поскольку органный Бас не есть простая музыкальная нота, какими суть ноты, принадлежащие поющим и играющим партиям, на практике разумеется, что он несёт с собою неотделимо и по собственной внутренней природе сопровождение терции, квинты и октавы, каковое сопровождение изъясняется (вместо надписанных музыкальных нот) числами 3, 5, 8, причём музыкальная нота Баса разумеется за число 1.

[нотный пример]

Эти числа никогда не пишутся над основным Басом, ибо в нём они разумеются как неотделимые от него. Другие числа, выведенные из этих, должны писаться, и есть тому практическое правило, которое мы вскоре увидим. Рассмотрим теперь эти числа, указывающие ноты цельной гармонии. Доказано, что цельная протяжённость гармонии есть шестичленная.

[нотный пример]

Она заключает в себе самой, как видно в примере, октаву, квинту, кварту, большую терцию и малую терцию. Когда на практике в гармонии органного Баса заключены все эти интервалы, надобно сказать, что в нём в сжатом виде есть цельная гармония, и потому на практике он наилучшим образом разумеется. И так оно на деле, ибо в тех четырёх музыкальных нотах суть все вышесказанные интервалы.

[нотный пример]

Стало быть, в гармонии органного Баса, обозначенной предположенными числами 3, есть сжатие шестичленной цельной гармонии. Стало быть, на практике наилучшим образом установлен основной Бас вышесказанными числами, неотделимыми от ноты, указывающей основной Бас.

Этому положению практической гармонии показательно соответствует часть шестичленной системы, если наложить на неё одну лишь октаву Баса, которая по достоинству в нём разумеется, ибо она есть фундаментальная дупла системы. Равным образом этому положению физически соответствует третий звук, который есть истинный физический Бас, ибо он его корень.

[нотный пример]

При этом нисколько не важно, чтобы третий звук, соответствующий квинте и кварте, был в высокой октаве, а третий звук, соответствующий большой и малой терции, [был ниже], но единственно важно, чтобы он был C-sol-fa-ut, как он есть физически. И потому неизбежно положение C-sol-fa-ut как ноты основного Баса, ибо по физической и показательной необходимости он таков относительно гармонической системы большой терции, о которой ныне идёт речь.

Положив это, первое следствие, рождающееся из трёх музыкальных нот примера 3 (понимаемых всегда как основные Басы гармонии), есть понятие о музыкальных каденциях и об их природе. Показано, что G-sol-re-ut 40 — гармоническая середина, F-faut 45 — арифметическая середина дуплы, то есть октавы C-sol-fa-ut, c-sol-fa-ut.

[нотный пример]

Каденция именуется по середине, и потому при этих двух последовательных нотах

[нотный пример]

она называется гармонической каденцией, ибо исходит от гармонической середины к её крайнему. При этих двух нотах

[нотный пример]

она называется арифметической каденцией, ибо исходит от арифметической середины к её крайнему. При этих двух нотах

[нотный пример]

она называется смешанной каденцией, ибо исходит от арифметической середины к гармонической середине. Гармоническая каденция названа была древними греками Аутентической, арифметическая — Плагальной. Ничего нам до имён; довольно знать их показательное выведение. Идея этих каденций приблизительно та же, что вытекает из хорошо построенной речи. То, что в речи есть смысл периода, то в музыкальном сочинении есть каденция. Физическое действие гармонической каденции — гармония сильная, величественная и живая. Арифметической — гармония томная, но сладостная. Смешанной — гармония сдержанная и не вполне определённая, как бы восклицательный знак речи. Их внутренняя природа относительно первых начал есть отношение середины к крайнему, центра к окружности — истинные физические опоры последовательной гармонии. Их порядок показателен, ибо неотделим от их природы и происхождения. Гармоническая каденция показательно есть первая, и потому главная и совершенная: она соответствует гармонической системе. Арифметическая каденция показательно есть вторая, и потому менее главная и менее совершенная: она соответствует арифметической системе. Смешанная каденция показательно есть третья, и потому наименее главная и наименее совершенная из всех: она соответствует геометрической системе, ибо составлена из двух середин, гармонической и арифметической. При данном показательном порядке трёх каденций, которые необходимо разумеются заключёнными двумя крайними, от которых имеют происхождение, то есть октавою, будет:

[нотный пример]

Из этого показательного порядка каденций, образующего последовательность нот основного Баса, рождается, как из корня, музыкальная модуляция; разумею под этим переход от одной ноты основного Баса к другой, отличной ноте основного Баса. (Изъясняю так имя модуляции, дабы сообразоваться с общим разумением и пониманием, ибо так на практике разумеют музыкальную модуляцию, которая в этом смысле, но более общем, называется переходом от одного тона к другому, как изъяснится в своём месте.) Однако из того выходит, что для образования цельной модуляции C-sol-fa-ut (на практике говорят: установить тон C-sol-fa-ut, а установить тон C-sol-fa-ut значит начать и кончить музыкальный период в C-sol-fa-ut сообразно природе каденций, к C-sol-fa-ut принадлежащих) показательная основа есть вышесказанная, и в строгости математической она неизменна как по существу, так и по порядку, ибо есть начало первое и образец a priori, из которого затем практика должна и может выводить другие способы модуляции, но всегда от этого зависящие.

Второе следствие, рождающееся из тех же трёх нот примера 3, как образующих три каденции и как заключённых дуплыми крайними, — словом, как показательно назначенных в приведённом примере, в коем существо и порядок неизменны, — есть гармоническое число истинной органической гаммы, а не предполагаемой. Изъяснюсь. На практике приспосабливают общую диатоническую гамму к основному Басу, и над нею в качестве закона надписывают то органическое число, что указывает на гармонию, содержащуюся в поющих или играющих партиях, для которых эта предполагаемая гамма есть основной Бас. Органические числа, которые в качестве закона надписываются, признаюсь, что не знаю их вполне, ибо в изысканиях, мною предпринятых ради точного о том сведения, я нашёл у Мастеров и Композиторов различные мнения. Бо́льшая часть, однако, сходится в следующих надписаниях.

[нотный пример]

Чтобы понять их значение, надобно заметить прежде всего, что та нота, которая не имеет никакого числа, несёт с собою неотделимо (как сказано выше) числа 3, то есть терцию, квинту, октаву. Они не пишутся, но в ней разумеются. Любая из этих нот сама по себе и по собственной внутренней природе есть истинный основной Бас, что доказано теми же числами как сжатие шестичленной [гармонии] и обнаруживается физически из третьего звука. Ибо, как показано многократно:

[нотный пример]

Стало быть, нота, над которой разумеется число 3, есть истинный гармонический основной Бас. Пусть же он будет назван (сообразно приведённому примеру) C-sol-fa-ut первой базой.

Во-вторых, поскольку C-sol-fa-ut как первая база, заключая в своей гармонии другие ноты, [то] эти ноты равно могут браться за основные Басы всякий раз, когда они точно сохраняют в своём органическом числе гармонию C-sol-fa-ut. Например, гармония C-sol-fa-ut как первой базы есть:

[нотный пример]

Оставив в стороне C-sol-fa-ut, можно взять E-la-mi, который есть его большая терция, и положить его за основной Бас с условием, чтобы числа, над ним надписанные, сохраняли гармонию C-sol-fa-ut. Стало быть, по показательной необходимости органическое число E-la-mi (на практике называется сопровождением) будет таково.

[нотный пример]

Ибо сопровождение C-sol-fa-ut, по вычитании C-sol-fa-ut, остаётся [таким]: число 3 C-sol-fa-ut становится основной нотой E-la-mi; число 5 C-sol-fa-ut становится числом 3 E-la-mi; число 8 C-sol-fa-ut становится числом 6 E-la-mi; и два числа 3, 6 значат терцию и сексту. Число 3 не пишется, но в нём разумеется. Число 6 должно писаться, ибо есть его точный отличительный знак; и как разумеется число 3 без написания, так разумеется число 8 (которое есть октава E-la-mi) без написания. Пусть же E-la-mi (как большая терция C-sol-fa-ut) назовётся второю базой в отличие от C-sol-fa-ut, который есть первая база. Оставив в стороне C-sol-fa-ut, E-la-mi, можно взять G-sol-re-ut, который есть квинта C-sol-fa-ut, и положить его за основной Бас с тем же условием — сохранять в своих органических числах ту же гармонию C-sol-fa-ut. Стало быть, по показательной необходимости число, то есть органическое сопровождение G-sol-re-ut, будет [таково].

[нотный пример]

Ибо гармония C-sol-fa-ut, по вычитании C-sol-fa-ut, E-la-mi, остаётся [такою]: число 5 C-sol-fa-ut становится числом 4 G-sol-re-ut; число 8 C-sol-fa-ut становится основной нотою G-sol-re-ut; число 3 C-sol-fa-ut, перенесённое октавою выше в 10, становится числом 6 G-sol-re-ut. Эти два числа 4 должны писаться, ибо они точный отличительный знак, а число 8 (октава G-sol-re-ut) разумеется без написания. Пусть же G-sol-re-ut (как квинта C-sol-fa-ut) назовётся третьею базой в отличие от E-la-mi, второй базы, и C-sol-fa-ut, первой базы. Других музыкальных нот в гармонии C-sol-fa-ut нет, кроме его высокой октавы, но в ней возвращаются к первому числу 3.

Из этих трёх баз ясно, что первая имеет в себе всю силу гармонии, ибо она преимущественно требуема природою. Вторая база имеет силу меньшую, но, хорошо употреблённая, имеет много прелести. Третья база — наименьшей силы; и немного тех случаев, в которых её можно употребить с добрым действием; и это касательно употребления вообще. Но существо в том, что, положив, например, G-sol-re-ut за основной Бас с числом 4, которое есть число третьей базы, надобно разуметь, что его первая база есть квинтою ниже.

[нотный пример]

Дан E-la-mi за основной Бас, означенный числом 6, которое есть число второй базы, — надобно разуметь, что его первая база есть терцией ниже.

[нотный пример]

В соответствие положим, например:

[нотный пример]

A-la-mi-re за основной Бас без всякого числа будет первая база. Его терция, которая есть число 3, будет вторая база; его квинта, которая есть число 5, будет третья база; и все три базы будут одной и той же гармонии. Но если над тем же A-la-mi-re надписать число 6, которое есть число второй базы, тотчас будет изменена первая гармония, и F-faut станет его первою базой, терцией ниже. Над тем же A-la-mi-re, если надписать число 4, которое есть число третьей базы, равным образом будет изменена гармония первая и вторая, и его первою базой станет D-la-sol-re, квинтою ниже.

Изъяснив это, вернёмся к органическим числам общей диатонической гаммы, положенной за основной Бас и понимаемой бо́льшею частью Мастеров и Композиторов как закон сопровождения. Пусть она вся будет приведена к первым базам.

[нотный пример]

В этом примере две вещи очевидны. Первая — что гармония верхняя и нижняя внутренне есть та же самая. Вторая — что ход первых баз настолько беспорядочен и неправилен, что, увиденный любым посредственным Композитором, будет признан и сознан неисполнимым. Но если так (а так оно и есть на деле), то как можно осуществить ход верхней гаммы, которая внутренне есть то же самое? И потому, если негодны и тот, и другой, как можно установить за закон органического сопровождения? Ошибка родилась из ложного предположения. Предположили, что гамма подходит как Басу, так и любой из поющих и играющих партий, и есть то данное, в котором должны сойтись все партии — низкие, средние и высокие. Предположение явно ложно, ибо гамма по внутренней природе подходит средним и высоким партиям. Каденции по внутренней природе подходят низкой партии, которая есть основной Бас; и две главные каденции показательно идут скачком, а не по гамме, как видно в примере каденций. Напротив, показав выведение общей диатонической гаммы из гармонии трёх нот основного Баса

[нотный пример]

и выведение трёх каденций, заключённых её дуплыми крайними,

[нотный пример]

говорю, что, наложив общую диатоническую гамму на ноты основного Баса, показательно упорядоченные в каденциях и крайних, эти будут основным Басом общей диатонической гаммы, и получится истинное органическое число, подобающее истинной гамме.

[нотный пример]

Ноты подложенные показаны, ноты надложенные показаны. Стало быть, и т. д. Но так и должно было быть, ибо если гамма выведена из гармонии трёх нот,

[нотный пример]

и если из этих трёх нот выведены и упорядочены каденции, ясно, что гармония гаммы разрешится в гармонию своего начала и своего корня. Вот, стало быть, с очевидностью обман, в который впали. Настолько далеко то, чтобы гамма могла подходить основному Басу, что, напротив, гамма есть выведение из основного Баса. Не отрицаю, однако, что искусством и выведением из первых начал нельзя образовать гамму и воспользоваться гаммой за основной Бас. Признаю это и одобряю, но без ущерба двум этим положениям. Первое — что ни природою, ни искусством никогда не будет с разумным основанием выводима гамма, употребляемая и соблюдаемая как закон бо́льшею частью Композиторов и Исполнителей на органе и клавесине. Второе — что сама по себе, по собственной внутренней природе и по первому началу, физически и показательно достоверно, что общая диатоническая гамма не может иметь в гармонической системе иных органических чисел, кроме вышеозначенных в сравнении с каденциями. Сохраняя эти два положения, многое можно выводить с разумным основанием и с отличнейшим действием. И настолько это верно, что Композиторы пятнадцатого века, мужи превосходнейшие в искусстве, употребляли за основной Бас следующую гамму, составленную почти всю из первых баз.

[нотный пример]

Главное правило этой гаммы есть гармония, то есть возможное сопровождение терции (большой или малой), природной квинты и октавы в любой ноте гаммы. Высокая октава в ней разумеется.

[нотный пример]

Остаётся исключённым B-mi как первая база, ибо его природной квинты в ней нет (то есть квинты, то есть сесквиальтеры в её форме 3, 2; или, как считается на практике, составленной из трёх тонов и одного полутона); но вместо неё он имеет квинту, уменьшённую на полутон, которая в отношении 128, 135.

[нотный пример]

Поскольку общая диатоническая гамма не допускает в своих нотах ни диеза, ни бемоля, ибо не может быть изменена в своей природе; и поскольку первые базы не допускают в этой гамме иных, кроме совершенных природных квинт; потому B-mi не может быть нотою первой базы. Должен затем быть второю базой. Ибо, будучи предпоследней нотой, которая с последней должна образовать гармоническую каденцию для установления тона C-sol-fa-ut, он не может быть иначе как второю базой, ибо для B-mi второй базы первая база есть G-sol-re-ut, который с C-sol-fa-ut образует гармоническую каденцию.

Эта гамма, составленная из гармонических и арифметических цельных единиц, и потому по внутренней природе между собою разъединённых, имеет многие и особенные красоты, но неотделимые от некоторой грубости модуляции, от которой бо́льшая часть вышесказанных Композиторов либо не могла уберечься по причине самой основы, соединённой со многими искусственными затруднениями, либо не хотела, не делая того предметом заботы. Эта грубость и резкость модуляции рождается именно от E-la-mi, третьей ноты гаммы, ибо его захотели поставить первою базой. Отсюда выходит, что — поскольку есть всеобщий закон гармонии (закон, выведенный из её природы), чтобы было не только внутреннее соединение частей с их целым, которое есть основной Бас в одновременной гармонии, но и чтобы сохранялось соединение и связь последовательной гармонии между целым и целым, то есть между последовательными нотами первой базы, которые все суть основные Басы, — достоверно, что в вышесказанной гамме установление E-la-mi первою базой противится этому закону, который сам по себе вернейший. Ибо, поскольку E-la-mi первая база заключён между D-la-sol-re, предшествующей первой базой, и F-faut, последующей первой базой, гармония трёх последовательных нот первой базы [будет такова].

[нотный пример]

В связи, то есть в отношении этой последовательной гармонии, есть два тритона (тритон есть интервал, составленный из трёх тонов, двух больших, одного меньшего, форма которого 32, 45, и аккорд которого резок и жёсток, и потому запрещён практикой, в которой не допускается, кроме как при особых условиях): тритон восходящий от F-faut к B-mi и тритон нисходящий от B-mi к F-faut.

[нотный пример]

Стало быть, отношение и связь дурной гармонии, противной природе гаммы, — каковая связь как практическое первое начало должна быть законом гаммы как одновременной, так и последовательной. Поскольку невозможно, чтобы был изъян в первых началах, это знак, что изъян в выведении из начал.

Из этой гаммы исключён Bmi как первая основа, ибо у него нет натуральной квинты — то есть квинты, или сесквиальтеры, в её виде 3:2, или, как считают на практике, составленной из трёх тонов и одного полутона; вместо неё у него квинта, уменьшённая на полутон, которая стоит в отношении 128:135.

[нотный пример]

Общая диатоническая гамма, не допуская в своих нотах ни диеза, ни бемоля — ибо природа её не может быть изменена, — и первые основы, не допуская в этой гамме иных квинт, кроме натуральных чистых, не позволяют Bmi быть нотой первой основы. Стало быть, он должен быть второй основой. Ведь, будучи предпоследней нотой, которая вместе с последней должна образовать гармоническую каденцию для определения тона Cfolfaut, он не может быть ничем иным, как второй основой, ибо при Bmi второй основе первая основа есть Gfolreut, который вместе с Cfolfaut образует гармоническую каденцию.

Эта гамма, составленная из единиц гармонических и арифметических, целостных и потому по внутренней своей природе между собою разъединённых, имеет многие и особенные красоты, но неотделимые от некоторой жёсткости модуляции, от которой добрая часть упомянутых композиторов либо не сумела уберечься — по причине самого этого построения, сопряжённого со многими искусными обязательствами, — либо не пожелала, не ставя её ни во что. Эта жёсткость и резкость модуляции рождается именно от Elami, третьей ноты гаммы, потому что его захотели поставить первой основой. Отсюда выходит вот что. Поскольку всеобщий закон гармонии (закон, выведенный из самой её природы) состоит в том, чтобы не только было внутреннее соединение частей со своим целым — а это есть основной Бас в равновременной гармонии, — но чтобы сохранялись соединение и связь гармонии последовательной между целым и целым, то есть между последовательными нотами первой основы, которые все суть основные Басы, — то очевидно, что в упомянутой гамме поставление Elami первой основой противится этому закону, который сам по себе вернейший. Ибо, будучи замкнут Elami первая основа между Dlasolre, предшествующей первой основой, и Ffaut, последующей первой основой, гармония трёх последовательных нот первой основы окажется такова:

[нотный пример]

В связи, или, иначе, в соотношении этой последовательной гармонии есть два тритона (тритон есть интервал, составленный из трёх тонов, двух больших и одного меньшего, форма которого 32:45), и созвучие его терпко и сурово, а потому запрещено практикой, в которой не допускается иначе, как с особыми условиями: тритон восходящий от Ffaut к Bmi, и другой нисходящий от Bmi к Ffaut. Стало быть, соотношение и связь — гармония дурная и противная природе гаммы, тогда как первое практическое начало должно быть законом гармонии как равновременной, так и последовательной. А поскольку невозможно, чтобы изъян был в первых началах, это знак, что изъян — в выведении из начал. Рассмотрим же первое начало упомянутой гаммы.

[нотный пример]

Доказательное построение этой гаммы пусть будет в дискретной геометрической дупле <6,8,9,12>, рассматриваемой в двух сесквитерциях <6,8> и <9,12>, соединённых в своих крайних членах отношением сесквиоктавным 8:9, образующим центр пропорции; и потому в музыкальных нотах будет:

[нотный пример]

Верно, что естественное движение ряда дискретных геометрических пропорций следует движению арифметического числа, то есть от меньшего к большему, что на практике соответствует движению от высокого к низкому; и верно, что, если угодно составить гамму верхней кварты Cfolfaut 6, Gfolreut 8, та же гамма должна образоваться и от нижней кварты Ffaut 9, Cfolfaut 12, ибо отношения равны. Стало быть, согласно естественному движению пропорции, образование верхней кварты должно дать закон образованию нижней кварты. Стало быть, невозможно, чтобы, найдя Bmi второй основой в кварте, приведённой к гамме, можно было затем найти Elami первой основой в другой кварте, приведённой к гамме.

[нотный пример]

И потому либо в той, либо в другой из этих двух нот заключена ошибка. Но в Bmi ошибки быть не может, ибо по природе самой гаммы он не может быть первой основой, более того — по необходимости гармонической каденции должен быть второй основой. Стало быть, ошибка в Elami, который в силу равенства должен быть второй основой. Но больше того: он должен им быть по доказательной необходимости. Сущность гармонии в упомянутой восходящей гамме сводится в её простом построении к двум гармоническим каденциям, первая из которых определена от Ffaut, вторая от Cfolfaut; и потому первая каденция определяет тон, или, иначе, модуляцию, в Ffaut, вторая — в Cfolfaut.

[нотный пример]

Стало быть, по необходимости простого построения этой гаммы (а это необходимость доказательная) в построении составном должна найтись гармоническая каденция в Ffaut, как находится она в Cfolfaut, дабы образовать тон в Ffaut, как образован он в Cfolfaut. Стало быть, составное построение должно быть таким, из какого и гамма:

[нотный пример]

Так гамма наилучшая в своей гармонии равновременной и последовательной, и так нет в ней ошибки. И вследствие этого не будет ни жёсткости, ни резкости в соответствующих модуляциях.

Полезно затем знать, каким образом и по какому основанию положены в упомянутой гамме две ноты Dlasolre и Alamire как первые основы и как основы гармонии арифметической, то есть малой терции. Чтобы знать это с основанием, надобно прежде знать законное соотношение и расстояние, какое есть между двумя гаммами — большой терции и малой терции. Я хочу сказать, что, как из гармонии большой терции выводится гамма большой терции, а из гармонии малой терции выводится гамма малой терции, и как доказательно устанавливается, какова первая нота гаммы большой терции, так должно знать доказательно, какова должна быть первая нота гаммы малой терции, и вследствие того — в каком соотношении и расстоянии находятся между собою эти две гаммы; а это неотделимо от знания того, в каком соотношении и расстоянии находятся между собою две гармонии, большой терции и малой терции. Знать это — дело немалое, ибо, чтобы знать его доказательно, надобно указать ноту основного Баса, которая в одно и то же время заключала бы в себе самой две гармонии, большой терции и малой терции, в разном отношении; но как указание, так и разное отношение должны быть доказательны. Такая нота основного Баса, заключающая в себе самой две гармонии, большой терции и малой терции в разном отношении, есть в настоящей системе, и это последняя нота Elafa 50 примера 3, приложенного к Фигуре VII. Что она заключает в себе обе упомянутые гармонии — ясно. Ибо, положив Elafa основным Басом двух нот для сравнения, то есть Gsolreut 6 примера 2 и Bfa примера 4, находим Elafa первой основой гармонии большой терции (по собственной природе арифметической середины квинты, как доказано в другом месте); и в отношении того же Gsolreut 6 примера 2, положив Elafa (согласно сесквиальтере) в сравнении с Cfolfaut как Бас основной постоянный (как равным образом доказано в другом месте), находим Elafa второй основой гармонии малой терции, у которой первая основа — Cfolfaut, Бас постоянный.

[нотный пример]

Стало быть, остаётся доказанным, что Elafa заключает в себе самой две гармонии, большой терции и малой терции. Указание её доказательно, как видно из приложенной Фигуры VII. Отношение доказательно различно, ибо гармония Elafa есть большой терции относительно синусов и малой терции относительно струн. Стало быть, и так далее. По указании этой ноты остаётся доказанным, что гамма большой терции отстоит от гаммы малой терции на субсесквиквинту, или, иначе, на малую терцию. Ибо от Elafa первой основы (гармония большой терции) до Cfolfaut первой основы Elafa второй основы (гармония малой терции) есть расстояние малой терции. Гаммы большой и малой терции выведены из соответствующих гармоний большой и малой терции. Стало быть, от гаммы большой терции до гаммы малой терции есть расстояние малой терции. Стало быть, при любой данной гамме большой терции относительная гамма малой терции будет ниже на малую терцию. Стало быть, при данной гамме большой терции в Cfolfaut относительная гамма малой терции будет в Alamire. При данной гамме большой терции в Ffaut относительная малой терции будет в Dlasolre. Это с точностью и суть две ноты Dlasolre, Alamire первой основы, поставленные в упомянутой гамме и соединённые относительно своего начала гармонии большой терции, от которого они происходят в сесквитерции, или, иначе, в общей кварте.

[нотный пример]

Действие гармонии этой гаммы в её модуляциях не может не быть наилучшим, ибо она заключает в себе самой две гармонии — большой терции и малой терции, — в отличие от гаммы, выведенной из гармонии трёх каденций, которая вся по внутренней своей природе есть гармония большой терции. И потому эта последняя, будучи вся гармонического рода, будет иметь, правда, больше силы; но та, что смешана из двух родов, гармонического и арифметического, будет иметь больше разнообразия и больше сладости. Кто сумеет к месту воспользоваться либо тою, либо другою, либо их соединением, сообразно природе музыкальных тем, тот достигнет того действия, какого хочет достичь. Заключаю, что в отношении гармонии и модуляции я не нахожу в настоящей системе иных, кроме этих двух гамм, как первоначал и всеобщих законов. Всякая иная, отличная от этих, если будет хороша и правильна, будет от искусства и от выведения: но никогда не будет ни началом, ни законом.

Третье следствие, рождающееся внутренне из упомянутой гаммы как образованной из последовательных нот, есть изъяснение природы каждой ноты гаммы, относительно двух систем — консонирующей и диссонирующей. Под упомянутую гамму подложим Cfolfaut как основной Бас постоянный, и в гамме различим ноты консонирующего сопровождения Cfolfaut, то есть терции, квинты, октавы, от тех нот, которые по необходимости остаются исключёнными из сопровождения. Будет, стало быть:

[нотный пример]

Из исключённых нот практически выводится природа и порядок, сопряжённые с обращением диссонансов, как в другом месте выведено доказательно. Природа — потому что какую бы из исключённых нот ни захотели соединить с консонирующим сопровождением, пропорция сопровождения, которая сама по себе рода простого — либо гармонического, либо арифметического, — становится составленной из двойного рода, то есть либо гармонического и геометрического, либо арифметического и геометрического, и потому между собою несовместимых, кроме как в системе диссонирующей. Порядок диссонансов, сопряжённый с их обращением, — потому что Dlasolre как нона есть первый диссонанс и разрешается в ближайшую свою ноту Cfolfaut, нисходящую на тон. Ffaut как ундецима, или, иначе, кварта, есть второй диссонанс и разрешается в ближайшую свою ноту Elami, нисходящую на полутон. Alamire как терциядецима, или, иначе, секста, есть третий диссонанс и разрешается в ближайшую свою ноту Gsolreut, нисходящую на тон. Три ноты разрешения упомянутых диссонансов суть в точности ноты консонирующего сопровождения подложенного Cfolfaut как первой основы; то есть Cfolfaut как первая основа разрешает нону; Elami как вторая основа Cfolfaut разрешает ундециму; Gsolreut как третья основа Cfolfaut разрешает терциядециму. И потому упомянутые три диссонанса разрешаются над одной и той же первой основой Cfolfaut по внутренней природе гаммы и устроения тона Cfolfaut относительно его каденций гармонической и арифметической, каковые (как видно было в другом месте) приготавливают и разрешают упомянутые диссонансы.

Не так с квартадецимой, или, иначе, септимой Bmi, которая по порядку есть четвёртый диссонанс. Имея ближайшей нисходящей на тон Alamire, которая не входит в консонирующее сопровождение Cfolfaut, ибо не есть ни терция, ни квинта, ни октава, но секста Cfolfaut, — потому невозможно, чтобы квартадецима, или, иначе, септима разрешилась в консонанс над той же основой, для которой она диссонанс. Поэтому при разрешении септимы необходимо, чтобы первая основа диссонанса перешла к иной основе для разрешения диссонанса. Но поскольку он не может разрешиться иначе, как в консонанс, а консонирующие числа суть не иные, как 3, 5, 8, то септима не может быть разрешена иначе, как в терцию, в квинту и в октаву относительно иной основы. Если в октаву, будет: [нотный пример]. Если в терцию: [нотный пример]. Если в квинту: [нотный пример].

[нотный пример]

В этом примере общей диатонической гаммы, соединённой с основным Басом каденций, есть все практические музыкальные диссонансы; нет двух диссонансов, выведенных из настоящей системы, то есть Gsolreut с диезом и Bfa примера 4, приложенного к Фигуре VII. О них будет речь в конце Главы, ибо они не диатонического рода.

Четвёртое следствие, рождающееся из гаммы и из упомянутого основного Баса, есть мера, или, иначе, музыкальный такт; смысл и музыкальный период; ритм, или, иначе, музыкальные акценты. Мера. Две последовательные ноты необходимы, чтобы образовать каденцию, то есть одна из середин дуплы со своим крайним членом и две середины между собою, как уже изъяснено. Но заметим, что, как в примере все каденции отнесены к Cfolfaut, главной ноте тона, и к двум соответствующим серединам (первое намерение природы), так несомненно и без всякого сомнения во втором намерении природы можно рассматривать каденции в них самих, как они рождаются непосредственно и доказательно.

[нотный пример]

В этом положении ясно, что каденции одной природы между собою, как и ноты, которые их составляют. И нота, предлагающая каденцию, одной природы с нотой, определяющей каденцию, как середина одной природы со своим соответствующим крайним членом. А если одной природы, то и равной длительности по времени, когда захотят привести упомянутые ноты к мере времени (вещь, необходимая на практике, чтобы привести и удержать в равновременном единстве гармонии части поющие и играющие). Стало быть, восемь музыкальных нот, образующих четыре каденции, должны быть между собою равного значения, ибо они между собою одной природы. Отсюда — время alla breve, в котором каждая каденция образует такт из двух равных долей, одна вниз, другая вверх.

[нотный пример]

От этого времени, как от первого начала меры, происходят все прочие равные времена; и это время имеет соотношение с формой 1, 2 дуплы, начертанной в линии AC. Как AB равно в линии BC, так первая нота такта равна по мере времени второй. Как AB, BC составляют линию AC, так две ноты составляют такт. Сверх формы меры 1, 2 есть форма меры 2, 3; как первая — от дуплы, так эта — от сесквиальтеры. Как AB равно BC, CD, так первая нота равна каждой из двух других в этом времени. Как AB, BC, CD составляют линию AD, так три равные ноты составляют такт этого времени, который на практике называется триполою (имя, испорченное из триплы). Как два отношения, дупла и сесквиальтера, суть целостное основание музыкальной системы, так два упомянутых времени, выведенных относительно, суть целостное основание меры, или, иначе, такта, сверх которого нечего и надеяться найти доброго. Это настолько верно, что многие, пытаясь иные формы меры, вместо доброго действия нашли величайшую путаницу; и так будет всегда.

От такой меры, которою делятся упомянутые каденции, рождается музыкальный смысл, а из многих смыслов — период. Сказано было в другом месте, что каденция есть опора гармонии. Здесь это подтверждается и изъясняется. В вышеприведённом примере первое движение Баса — от Cfolfaut (главной ноты тона) к Gsolreut, середине гармонической, и тем образуется одна каденция и один такт. Здесь, стало быть, есть музыкальный смысл, ибо есть отношение крайнего члена к середине гармонической. Второе движение — от Cfolfaut к Ffaut, середине арифметической, и тем образуется другая каденция и такт. Здесь равным образом есть музыкальный смысл, ибо есть отношение крайнего члена к середине арифметической. Но этот второй смысл несомненно отличен от первого настолько, насколько отлична середина арифметическая от середины гармонической. Стало быть, между первым и вторым смыслом есть внутреннее разделение, ибо есть внутреннее различие. Точку этого разделения я называю опорою гармонии, каковая всегда найдётся между нотой, определяющей каденцию, и нотой последующей, предлагающей новую каденцию. Если же иным угодно будет назвать её иначе, пусть называют как хотят; довольно, чтобы понимали именно так, ибо так оно и есть. Из этих смыслов, определённых каденциями, образуется целый период из четырёх тактов времени alla breve, как видно в упомянутом примере, и это — образец природы, к которому я ничего не прибавляю от себя, кроме наблюдения. Однако не вывожу того заключения, будто эти первые образцы должны быть законом неизменным и всеобщим. Недоставало бы тогда музыке одной красоты, которая есть разнообразие во всяком отношении. Но скажу, правда, что само разнообразие должно иметь в каждом отношении свой образец, дабы не разбредалось по прихоти; и что определение каденций на своём месте, и приведение музыкального смысла к правильному периоду бесконечно способствует изъяснению предлагаемой темы и ясности, и понятности темы для того, кто слушает.

Из каденций, приведённых к такту, рождаются музыкальные акценты, то есть акценты долгие и краткие в том же смысле, в каком слоги долгие и краткие. Хочет ли ритм греков сказать это или иное — мне до того нет дела. Я разумею акцент долгий и краткий. Это в нашей музыке любопытная точка зрения. Верно, что есть у нас в музыке ноты, соответствующие долготе слогов. Дан, например, дактиль в слове «barbara» — есть у нас в точнейшем соотношении одна минима и две полуминимы.

[нотный пример]

Ибо минима стоит двух полуминим, и потому в точности минима есть долгий слог, две полуминимы — два кратких слога. Есть у нас одна полуминима и две восьмые по тому же основанию, что полуминима стоит двух восьмых, и потому та — долгий слог, эти — два кратких слога. Есть у нас по тому же основанию одна восьмая и две шестнадцатые, прилагая дактиль к трём нотам, и так далее.

[нотный пример]

Стало быть, кажется, что, прилагая дактиль к музыкальным нотам вообще, первая, будучи вдвое больше двух следующих, строго сохраняет природу количества трёх слогов, то есть первый долгий, а два других кратких. Кажется, но это не так. Причина зависит не от значения нот, которые в данных примерах строго соответствуют значению данных слогов. Она зависит от места в такте, куда поставят упомянутые три ноты. Пусть время будет обыкновенное, как самое употребительное, и три слога пусть выражены полуминимою и двумя восьмыми. Вот в скольких местах такта обыкновенного времени возможно их положение:

[нотный пример]

Иные положения невозможны, ибо возвращаются к первому. И вот — факт: первое и третье положение в точности отвечает значению слогов. Второе и четвёртое не отвечает иначе, ибо второй слог, который краток, становится долгим, и итог музыкального произношения, наперекор краткой ноте и против воли музыканта, поистине варварский. Поскольку музыкальные ноты всегда одни и те же, дактиль всегда тот же, ясно, что причина превращения краткого слога в долгий — место, и ничто иное. Но в первом и третьем положении дактиль остаётся в своей правильной форме меры, и место долгого слога есть начало и середина такта, то есть первая и третья четверти. Напротив, во втором и четвёртом положении дактиль не остаётся в своей форме, но превращается в антибакхий; и место краткого слога, превращённого в долгий, есть середина такта и начало следующего, то есть (как выше) первая и третья четверти такта. Стало быть, по внутренней природе места в начале и середине такта обыкновенного времени есть долгий акцент (а вследствие того долгий слог) независимо от слова и от человеческого произвола. Это настолько верно, что, подложив тот же дактиль под те же три ноты так, чтобы последний слог пришёлся на начало или середину такта, последний слог становится долгим.

[нотный пример]

И ни старание музыканта в произнесении, ни искусство сочинителя в сокращении последней ноты, сколь возможно, не помогают против того, что так неизбежно случается. У меня нет иного основания этому факту, кроме вышеуказанного — каденций, приведённых к такту, как составленных из двух нот равной природы и потому равной силы, как опор гармонии и как музыкальных смыслов. Верно, что, разделив приведённый пример каденций следующим образом и подложив под него сколько угодно дактилей, они остаются вполне в своей форме.

[нотный пример]

Верно, что, переставив каким бы то ни было иным образом упомянутое положение, всякий раз, как с долгим слогом не совпадёт каденция — либо на сильной доле, либо на слабой, то есть либо в начале, либо в середине такта, — краткие слоги превратятся в долгие. Верно, наконец, что, если в возражение приведут упомянутый пример нотами всегда унисонными, в которых кажется, будто нет каденции, — я отвечу, что есть внутренняя каденция в подложенных первых основах.

[нотный пример]

Иное дело, когда не хотят каденции в гармонии, предложенной сочинителем, каковую он может предложить, если захочет, на один и более тактов над одним и тем же основным Басом; иное дело, чтобы в особенности в большей части таких практических случаев внутренне не было каденции; и чтобы вообще, и согласно первому образцу природы, музыкальная гармония не требовала каденции в упомянутом месте. Этого довольно и с избытком для моего основания, которым я убеждён и уверен, — то есть что долгий акцент в двух указанных местах исходит от силы каденции, для которой это место естественное. Хочет ли затем сочинитель каденции или нет, тем не менее долгий акцент в двух упомянутых местах остаётся, как независимый от человеческого произвола, от нот и от слогов.

Главное же в том, что мне довольно известен предрассудок, усвоенный из долгого употребления такта, по которому целый оркестр большею частью сходится в том, чтобы акцентировать, или, иначе, ударять с большею силой первую ноту каждой четверти обыкновенного времени, и ещё много более — две ноты сильной и слабой доли времени alla breve, потому что либо так видят, как отбивает меру руководитель оркестра, либо так каждый отбивает сам — ногою или мысленно. И потому, когда душа уже настроена и предуготована обычаем слышать в тех местах ноту более сильную и по видимости более долгую, чем прочие, она ищет причину тому, что есть не что иное, как обычай и предрассудок. Я это прекрасно знаю, но тем не менее остаюсь при своём мнении. Дело в том, что независимо от музыкального обычая я сам не раз наблюдал народные и крестьянские пляски, управляемые одним чембало — инструментом, как Вам известно, без звука, и на котором (не могу сказать «играют») управляются рукою, подчинённою силе одних ударов. Три вещи я подметил с очевидностью: удары большие и меньшие, равнозначные долгим и кратким; точнейшее соответствие двум музыкальным мерам — времени alla breve и триполе; удары большие — всегда в начале соответствующей меры. Поскольку такой случай здесь, в имении, част, Вы, сударь граф, не упустите его и понаблюдайте: подивитесь и порадуетесь такой точности. Будучи убеждён фактом природы и уверен, что в равных обстоятельствах то же должно происходить у какого угодно народа, я должен верить своему основанию, опертому и подтверждённому фактом, который освобождает меня от всякого подозрения в предрассудке.

Всё это удивительно подтверждается природою нот диссонирующих. Эти ноты относительно гармонии не суть ни консонирующие, ни диссонирующие. Не консонирующие, ибо никоим образом не входят в гармонию консонирующего сопровождения терции, квинты, октавы; то есть они не суть ни терция, ни квинта, ни октава основного Баса. Не диссонирующие, ибо, хотя диссонирующие ноты встречаются в интервалах ноны, ундецимы, терциядецимы и квартадецимы, каковые все суть интервалы диссонансов и потому общи и диссонирующим, и собственно диссонансным нотам, — тем не менее их природа и их обращение весьма отличны от природы и обращения нот собственно диссонансных. Ибо эти последние должны приготовляться и разрешаться, а те обращаются свободными от этого условия, сами по себе, восходя и нисходя. Два условия, необходимые для их употребления, суть: первое — чтобы они были замкнуты между консонирующими нотами, предшествующими и последующими, упомянутого сопровождения терции, квинты, октавы, с которыми они должны быть соединены как со своим началом и своим остовом (почти как одежды на теле консонирующей гармонии). Второе — чтобы в музыкальном такте они имели своё точное место, вне которого употребление их становится музыкальным солецизмом. Происхождение их — от гаммы восходящей и нисходящей, приведённой к такту так, чтобы ноты консонирующего сопровождения терции, квинты, октавы пришлись в начало и середину такта: при обыкновенном времени и при Cfolfaut, основном Басе постоянном, как первой основе.

[нотный пример]

В этом примере, который есть первой простоты и потому образец выведения бесконечных способов, ясно, что нет никакой каденции, ибо Бас — одна-единственная нота и первая основа постоянная. Ясно, что подчёркнутые ноты гаммы суть консонирующее сопровождение Cfolfaut первой основы и все находятся в начале и середине такта. Ясно (и я схожусь со всеобщим разумением и практикой), что предпослать или отложить на одну четверть упомянутые подчёркнутые ноты есть музыкальный солецизм.

[нотный пример]

Но эта гамма, будучи выведена искусством (в отношении меры, или, иначе, такта) из прежней гаммы, доказанной по природе как состоящая из частей, равных по значению нот, по причине каденций — то есть [нотный пример], — и поскольку те выведены из абсолютного первого начала каденций, столь же ясно, что абсолютное первое начало каденций есть в Cfolfaut по внутренней природе. Из этого первого начала, отняв подчёркнутые верхние высокие ноты, остаются четыре нижних Cfolfaut, с которыми тождественно совпадают четыре Cfolfaut, подложенные под гамму, приведённую к обыкновенному времени и сокращённую искусством.

[нотный пример]

Доказательство ясно, если прибавить отнятые ноты.

[нотный пример]

Стало быть, вернейшее правило ставить во второе и четвёртое место, или, иначе, в четверть такта, диссонирующие ноты — исходит из абсолютного первого начала каденций в Cfolfaut, каковое по внутренней природе должно находиться в первом и третьем месте, или, иначе, четверти такта. Но это происходит в силу каденции. Стало быть, заключаю вновь, что долгий акцент в двух упомянутых местах исходит от силы каденции: и ничуть не важно, выражена она или нет, ибо это первое намерение природы, что она должна быть и что это её места. Бесчисленны выведения из этого образца как первого начала, и они составили бы целый практический трактат. Но я разумею установить первые начала, разъяснённые примерами настолько, насколько нужно, и не более, зная, как хорошо Вы умеете выводить сами. Прибавлю только для Вашего удобства намёток выведения этих диссонирующих нот, ибо это можно назвать королларием предложения. Если диссонирующие ноты в обыкновенном времени не могут употребляться иначе, как во втором и четвёртом месте такта, потому что должны быть замкнуты нотами консонирующего сопровождения, которые должны иметь первое и третье место такта, — то соразмерно они смогут употребляться много более в четвертях такта [нотный пример], и в восьмых [нотный пример], и так далее. Словом, в большем стеснении такта — сколько угодно; в большем расширении полутакта — никогда; и это будет девятый музыкальный канон для диссонирующих нот.

Он может иметь некоторое исключение в отношении тех способов музыкального выражения, которые свойственны нынешнему вкусу, в котором не делают труда поставить за существо то, что есть лишь способ существа; то есть вместо основных нот кантилены — способы доброго вкуса, выведенные из тех же нот. В употреблении таких способов диссонирующие ноты прекрасно встретятся в начале и середине такта. Но поскольку это скорее поэтическая вольность нынешнего века, она ничуть не вредит истине упомянутого канона.

Пятое следствие, рождающееся из трёх нот примера [нотный пример], есть выведение музыкальных ключей Ffaut, Cfolfaut, Gsolreut. Ffaut — для Басов. Cfolfaut — для Теноров, Контральто, меццо-Сопрано и Сопрано. Gsolreut — для Скрипок, Гобоев, Флейт и прочих.

[нотный пример]

Естественные крайние пределы, низкий и высокий, и отношение середины ко всему объёму человеческого голоса суть приблизительно, то есть в дуодекупле. Сверх того в человеческом голосе — редкость; в инструментах объём больше в низком и много более в высоком, но с малым добрым действием. Прохожу мимоходом эти музыкальные вещественности, довольствуясь тем, что указал их начало в трёх упомянутых нотах: начало обильнейшее, ибо, как Вы доселе видели, из него происходит почти всё формальное и материальное нашей музыки. Но надобно идти весьма осторожно в гаммах, относящихся к упомянутым ключам, разумеемых как лады — как в нашем смысле новейшем, так и в смысле древних греков. Этой надобности будет посвящена следующая Глава.

Шестое и последнее следствие есть естественный источник двух родов, хроматического и энгармонического, ясно указанный примером 4 музыкальных диссонансов. Природа этих двух родов есть в существе уплотнение общей диатонической гаммы; а уплотнение значит вставление иных нот между данными нотами упомянутой гаммы. Этим, конечно, и уплотняется гамма, ибо это не может произойти иначе, как прибавлением к гамме таких нот, которые делят натуральные тоны и полутоны гаммы на меньшие отношения. Место такого уплотнения у греков было назначено законом; и это было место полутона, где бы он ни находился в общей диатонической гамме. Предел уплотнения был установлен тетрахордом, или, иначе, квартою — как вещественно, в отношении четырёх нот, составляющих тетрахорд, так и формально, в отношении сесквитерцного отношения. Потому три возможных места уплотнения в общей гамме были следующие:

[нотный пример]

Натуральные тетрахорды диатонического рода.

Если род был хроматический, тетрахорд образовывался из двух полутонов и одного неделимого триемитония (малой терции скачком, а не по гамме); и употреблялся он в кантилене как восходя, так и нисходя.

[нотный пример]

Тетрахорды хроматического рода.

Если род был энгармонический, тетрахорд образовывался из деления большого полутона на два полутона и из дитона, равным образом неделимого (большой терции скачком, а не по гамме); и пелся он равным образом восходя и нисходя.

[нотный пример]

Тетрахорды энгармонического рода.

Полутоны рода хроматического, деления большого полутона рода энгармонического и соответствующие триемитонии и дитоны были многих видов сообразно различным отношениям, или формам, какими они устанавливались. Действия такого рода музыки были особенные и отличные от действий, производимых музыкой рода диатонического. Всё это я прочёл у Царлино, человека рассудительного и прилежного собирателя древних вещей. Какова была причина делить гамму на столько тетрахордов, которые по закону начинались бы с большого полутона; умножать полутоны для образования рода хроматического; делить большой полутон для образования рода энгармонического, — я не знаю. Если же меня спросят, возможно ли в силу настоящей системы уплотнение диатонической гаммы и возможны ли две природы гармонии и мелодии, равные мелодиям, или, иначе, кантиленам двух родов, хроматического и энгармонического, — скажу, что да, и докажу это.

[нотный пример]

Общая диатоническая гамма, выведенная из гармонии трёх нот примера 3, пусть будет поставлена для сравнения с музыкальными нотами примера 4.

[нотный пример]

Общая диатоническая гамма.

[нотный пример]

Стало быть, перенося две ноты, отмеченные в гамме, она будет уплотнена нотою Gsolreut с диезом между Gsolreut натуральным и Alamire, и будет уплотнена нотою Bfa между Alamire и Bmi. Но пример 4 — от системы. Стало быть, по системе уплотнена общая диатоническая гамма. Заметим мимоходом в этом сравнении, что вторая и третья нота примера 4 натуральны диатонической гамме, но четвёртая и пятая нота не натуральны; и что вторая и третья нота находятся между квинтою Cfolfaut низким и Gsolreut гаммы, а четвёртая и пятая нота находятся между квартою Gsolreut, Cfolfaut высоким гаммы: явный знак совершенства квинты Cfolfaut низкого, Gsolreut, и несовершенства кварты Gsolreut, Cfolfaut высокого, в которой только и возможно упомянутое системное уплотнение.

При таком уплотнении нахожу возможной в уплотнённой гамме мелодию этих нот.

[нотный пример]

Здесь два полутона: меньший между Gsolreut и Gsolreut с диезом; больший между Gsolreut с диезом и Alamire. Есть сесквиквинта, или, иначе, малая терция между Alamire, Cfolfaut, и крайние члены — в кварте. Стало быть, образован тетрахорд согласно природе хроматического рода, и образован он по системе. Однако недостаточно образовать мелодию, или, иначе, кантилену, когда она не основана в гармонии, которая во всяком случае должна быть первым началом. Ибо, если из гармонии выведена общая диатоническая гамма, то равным образом из гармонии должно вывести её уплотнение, а вследствие того — упомянутую кантилену. И ещё недостаточно. Эта гармония должна быть внутренней системе и должна рождаться из необходимости начала таким образом, чтобы из неё, как из основания и начала независимого,

Однако недостаточно образовать одну лишь мелодию, или напев, если он не основан на гармонии, которая в любом случае должна быть первоначалом. Ибо если из гармонии выведена обычная диатоническая гамма, то из той же гармонии должно быть выведено и её уплотнение, а следовательно, и упомянутый напев. И этого ещё мало. Эта гармония должна быть присуща самой системе и рождаться из необходимости начала так, чтобы из неё, как из основания и начала, не зависящего ни от какого произвола, проистекал упомянутый хроматический тетрахорд со всеми его условиями. Закон строг, но справедлив. Ибо я не понимаю и никогда не смогу понять, чтобы древние тетрахорды двух названных родов — хроматического и энгармонического — были выведены по необходимости начала. Они выведены произвольно, и не более того. Поясню это доказательством.

Пусть будет диатонический тетрахорд, приведённый к своей гармонии и естественной модуляции согласно показанным числам диатонической гаммы. Получится [нотный пример]. Стало быть, модуляция приходится на Cfolfaut, и образуется (как говорят на практике, по фундаментальному басу первой ступени) тон Cfolfaut. Соразмерно с этим диатонический тетрахорд [нотный пример] образует тон Ffaut. (Опускаю пока диатонический тетрахорд, ибо как привходящий он будет рассмотрен отдельно.)

И достоверно то, что два названных тетрахорда в своём движении в точности сохраняют природу тона Ffaut. Дело ясное, ибо первые гармонические основания Cfolfaut, будучи тремя нотами примера [нотный пример], — на какой бы из них ни строилась каденция, она будет в природе Cfolfaut; и только в Gsolreut гармоническую каденцию построить нельзя, ибо для этой ноты в диатонической гамме нет относительной ноты, которая для образования гармонической каденции должна была бы быть Dlasolre с большой терцией, как она есть в Ffaut.

Установив два тона, Cfolfaut и Ffaut, относящихся к двум упомянутым диатоническим тетрахордам, остаётся увидеть, какова возможная связь последующей гармонии, или модуляции, которая не по произволу, а по необходимости сопряжена с двумя названными тонами. Согласно тому, что доказано до сих пор, ясно, что иная последующая гармония, или модуляция в таком смысле невозможна, кроме перехода первого основания большой терции к своему относительному первому основанию малой терции — то есть из Cfolfaut в Alamire, из Ffaut в Dlasolre. Ибо эти две ноты необходимо связаны между собой, и связаны так, что, дав одну, разумеешь и другую, как было показано в своём месте. Отсюда музыкальная практика вывела гаммы, относительные между собой по большой и малой терции, общими знаками которых служат знаки альтерации, которых либо нет вовсе, либо они стоят при ключе. Дана гамма Cfolfaut — при ключе нет ни одного знака. Равно и в гамме Alamire, ибо она её относительная по малой терции. Дана гамма Ffaut — если при ключе стоит fa-бемоль, он будет также и в Dlasolre, ибо она её относительная по малой терции, и так далее.

Но если это верно, то как же возможно, чтобы хроматический тетрахорд, выведенный из диатонического тетрахорда Cfolfaut, в своей последующей гармонии, или модуляции, выходил из природы тона Cfolfaut и предлагал тон в Dlasolre, малой терции, которая никоим образом не принадлежит Cfolfaut, но принадлежит Ffaut как его относительная по малой терции? Вот хроматический тетрахорд, выведенный из диатонического тетрахорда Cfolfaut:

[нотный пример]

Когда к Cfolfaut прибавляется [нота], ясно, что фундаментальный бас Alamire становится первым основанием большой терции и предлагает гармоническую каденцию в Dlasolre. [нотный пример]

То же самое происходит в хроматическом тетрахорде, выведенном из диатонического Ffaut. [нотный пример] Фундаментальный бас предлагает гармоническую каденцию в Gsolreut, малой терции, которая никоим образом не принадлежит Ffaut, но принадлежит Bfa как его относительная по большой терции.

Я, конечно, не знаю, что мне могли бы возразить, разве лишь то, что древние греки не понимали этого таким образом — то ли потому, что равномерно-темперированная гармония (по крайней мере, согласно общему мнению) не была у них в употреблении, как непознанная или нежеланная; то ли потому, что они полагали, будто из наименьших музыкальных интервалов слагаются наибольшие, и при таком предположении имели свободу делить и подразделять по своему усмотрению наименьший диатонический интервал, то есть больший полутон, или умножать его в иной форме. Но всё это ничего не доказывает, что бы мне ни ответили. Равномерно-темперированная гармония (а следовательно, и последующая) угодна природе; наименьшие интервалы происходят из наибольших, и это доказанные положения. Стало быть, либо по произволу, либо по ложному предположению древние греки вывели таким образом и в таком месте два рода — хроматический и энгармонический, ибо хроматический не отвечает природе своего начала, как было видно; то же будет видно и об энгармоническом.

Подвергнем теперь рассмотрению хроматический тетрахорд настоящей системы, выведенный по необходимости таким образом и в таком месте; и приведём его к последующей гармонии, или модуляции, восходя и нисходя. [нотный пример] Результат говорит сам за себя. Модуляция переходит в Alamire, малую терцию. Стало быть, в тон малой терции, внутренне сопряжённый с Cfolfaut. Напев, восходя и нисходя, необходимо проходит через интервалы, составляющие тетрахорд, и гармония превосходно и необходимо с ним сопряжена. Стало быть, истинный хроматический тетрахорд — именно этот: и по способу, и по месту, и по природе, и по системе. Если же затем, встречаясь в напеве, он не встречается в способе и месте греческого хроматического тетрахорда, вина не моя: она в самой настоящей системе, силою которой я ведом. Я мог ошибиться, не поняв греческой системы. Но я не мог ошибиться в доказательстве, данном ей, дабы вывести её истинность или ложность в сравнении с настоящей системой.

Перехожу к энгармоническому тетрахорду, для законного выведения которого необходимо вспомнить пример, приведённый в первой главе для получения третьего звука как фундаментального гармонического баса. В упомянутом примере отмечены три интервала в отношении сесквисеста; это шестой, восьмой и десятый. Они кажутся малыми терциями, но не суть таковы, и там я доказал, что они меньше сесквиквинта, или малой терции отношения 35:36, ибо форма малой терции есть 42:35, в простых числах 6:5; форма же упомянутых интервалов есть 42:36, в простых числах 7:6. Я объяснил, что они рождаются из гармонического деления сесквитерца, или кварты, и угодны природе, ибо это [деление] находится сделанным природою; и я отметил, что этот интервал легчайшей интонации на скрипке, на тромбе-марине, на трубах духовых и на охотничьих рогах — на инструментах, в которых не имеет места человеческий произвол, но одна лишь физико-гармоническая природа.

[Далее — числовое сопоставление форм интервалов и их обозначений; математическая выкладка — опущена. Смысл: новую ноту, составляющую этот интервал, следует прибавить к обычной диатонической гамме, уплотнённой согласно примеру 4, и обозначить особым знаком, отличая её от Bfa.]

[нотный пример]

При прибавлении этой ноты я нахожу возможным в упомянутой гамме построение энгармонического тетрахорда — то есть большого полутона, разделённого на два малых полутона, и дитона, или большой терции, в этих нотах. [нотный пример] Приведённый по своему фундаментальному басу к гармонии — как восходя, так и нисходя — он будет [нотный пример]. Из результата ясно образование тона Ffaut, относительной фундаментальной нотой которого служит Gsolreut, первое основание малой терции по отношению ко второй гамме Cfolfaut, доказанной в другом месте.

И эта вещь столь очевидна на деле, что не только всякому композитору становится ясным образование тона Ffaut, но я скажу более — по собственному моему опыту и по общему согласию профессоров, допущенных к этому опыту, — что, прибавив вторую скрипку, в сравнении с которой первая скрипка может прекраснейшим образом различать интонацией малую разницу, какая есть между этими двумя нотами, действие столь приятно, что приятнее быть не может. Опыт (ради более ощутимого действия) был поставлен на квинту в высоком регистре.

Композиторы вообще (исключая, как всегда, нашего Валлетту) возразят, что в этом примере есть музыкальный солецизм, ибо на второй ноте баса стоит септима, которая не только не разрешается нисхождением на полутон, как разрешается та же септима предпоследней ноты, но, что много хуже, восходит, и это противно всякому музыкальному правилу. Я прибавлю: она даже не приготовлена, и однако стоит прекраснейшим образом, ибо так она и должна стоять — доказательно и физически. Доказательно — потому что, хотя гармоническое шестикратное протяжение не допускает в своей цельной единице более шести, что есть его предел, это всё же не значит, будто гармоническая система по природе своей не может продвигаться к семи, к восьми и так далее.

[Здесь — доказательное рассуждение в числах о пределе шестикратного протяжения; математическая выкладка — опущена. Смысл: если протяжение остаётся в своём пределе — шести, получается диатонический род (отсюда его совершенство, ибо как шестикратное протяжение имеет корнем удвоение и его средние члены, так и диатонический род целиком зависит от удвоения); если же протяжение превосходит шесть, получается энгармонический род, что очевидно в самом примере.]

Физически — потому что, дав в гармонии эти ноты, я говорю, что, сравниваемые любым образом между собой, они всегда дадут третий звук Gsolreut, который есть фундаментальный гармонический бас. Стало быть, такая септима консонантна, а не диссонантна. Стало быть, она не нуждается ни в приготовлении, ни в разрешении; она может восходить и может нисходить; и когда интонация верна, она будет стоять равно хорошо. Потому-то на трубах духовых, на тромбе-марине, на охотничьих рогах, где по природе есть упомянутая нота (довольно, чтобы профессора, желающие её, там её искали), никому не должно вменяться в скрупул пользоваться этим ходом, ибо иначе пришлось бы исправлять самоё природу.

Лучшее, что можно сделать с нашим искусством против физико-гармонической природы, — это понемногу делать то же, что делает практика. Когда на пятой ноте тона, образующей гармоническую каденцию с главной нотой тона, септима даётся без приготовления — в заключительных каденциях это почти общий обычай органного сопровождения: прибавлять септиму к ноте, предлагающей заключительную каденцию. Правила на то нет, более того, это против правила, ибо такая септима не приготовлена. Но природа сильнее искусства. Малое расхождение, какое есть между Ffaut натуральным и Ffaut гармоническим делителем кварты, недостаточно, чтобы изменить гармонию, и ухо остаётся более убеждённым и убеждённым силою и превосходным действием трёх членов, гармонически расположенных, чем оно может быть смущено четвёртым лишь членом, то есть Ffaut натуральным, прибавленным септимой; каковой [член], будучи весьма близок к истинному гармоническому члену, мало или вовсе не возмущает превосходного действия гармонии. Отсюда выходит, что, вопреки любому правилу, при данных двух частях нет и не может быть иного гармонического баса, кроме этого. [нотный пример] А если угодно, этот бас (превосходный сам по себе) принадлежит не первой гармонической гамме, но второй гамме, назначенной и доказанной в своём месте.

Возвращаюсь к энгармоническому тетрахорду и говорю, что этот — возможный, как угодный природе тона и гармонической системе. Вне его ни по природе, ни по системе я не умею усмотреть иного, ибо не знаю, каким образом энгармонические тетрахорды греков сводимы к правильной гармонии и к образованию тона, необходимо относительного к главному тону. Когда такого условия недостаёт, я говорю, что они образованы по произволу, а не по необходимому основанию.

Теперь перехожу к двум последним диссонансам музыкального примера 4, для полного уразумения которых необходимо было прежде изложить (как будет видно) уплотнение обычной диатонической гаммы согласно настоящей системе. Ради этой надобности повторяю пример упомянутой гаммы. [нотный пример]

Говорю, что диссонанс дуодецимы, образованный от Gsolreut, есть диссонанс хроматического рода. Ибо если хроматический тетрахорд есть [нотный пример], то [следует определение формы малого полутона в числах 24:25 как принадлежащего хроматическому роду; математическая выкладка — опущена], такова и будет диссонанс, и в её естественном месте.

Говорю, что диссонанс квартадецимы, или септимы, образованный от Bfa, есть диссонанс энгармонического рода. Ибо если энгармонический тетрахорд есть [нотный пример], то [следует определение формы наименьшего полутона в числах 35:36 как принадлежащего энгармоническому роду; математическая выкладка — опущена], такова и будет диссонанс, и в её естественном месте.

В этом примере виден случай, когда септима разрешается на том же основании, ибо диссонантная септима fa разрешается в консонантную септиму fa, истинным физико-гармоническим основанием которой служит подложенный Cfolfaut. Силою этого примера на деле становится ясной круговая природа гармонической системы. Обычная диатоническая гамма, приведённая к гармонии (как было видно), есть [нотный пример]. Эта гамма, как восходящая, идёт превосходно согласно природе последующей гармонии. Ибо хотя на шестой и седьмой нотах фундаментального баса есть дурное соотношение тритона [нотный пример], это не отменяет, как превосходного, перехода от гармонической середины Gsolreut к арифметической середине Ffaut. Ибо Ffaut, будучи серединой несовершенной, а Gsolreut — серединой совершенной, движение от несовершенства к совершенству угодно с такой ясностью всеобщей природе вещей, что нам не остаётся сомневаться, такого ли движения намерение природы; и тем более в гармонической системе, где вообще движение идёт от квадрата к кругу, от множественности к единству, и в частности от диссонанса к консонансу. Но та же гамма, как нисходящая, идёт дурно по той же причине, ибо обнаруживается тритон между Gsolreut, которое при нисхождении становится первым, и Ffaut, которое [становится] вторым.

Итак, достоверно, что это соотношение и этот переход от совершенного к несовершенному не угоден последующей гармонической природе, ибо он против её намерения; и если композиторы воспользуются таким переходом, они совершат ошибку. Вы, господин граф, спросите меня, как же может возникать это неудобство в упомянутой гамме, которая, в конце концов, есть доказательство. Я отвечаю Вам, что оно должно возникать по необходимости начала. Если система гармонична a priori, гамма должна восходить, а не нисходить, ибо гармоническое движение по природе начала идёт от низкого к высокому. Стало быть, всё совершенство обретается при восхождении, а знак несовершенства — при нисхождении. Но когда к упомянутой гамме прибавляется тот ход, что прибавлен к энгармонической системе и угоден физико-гармонической природе на не раз упомянутых инструментах — трубах, охотничьих рогах и прочих, — не только устраняется всякое неудобство, но в фундаментальном физико-гармоническом басе обнаруживается круговая природа. Вот пример. [нотный пример] Стало быть, при нисхождении гаммы бас обращается в самого себя, и это и есть круговая природа.

Из прибавления упомянутой ноты вновь виден случай, когда диссонанс квартадецимы, или большая септима, строго разрешается на том же первом основании, как разрешаются все прочие диссонансы [нотный пример]: яснейший знак всеобщего совершенства гармонической системы, когда верно соблюдается её природа и к ней присоединяются выведенные [из неё] системы так, что она становится единой всеобщей системой. Положение это истинно, лишь бы по существу отличали диатонический род от двух других родов. Поясню, и пояснение совершенно прояснит всё, что доселе сказано и доказано о трёх системах. В третьей главе доказан предел гармонической прогрессии в пределах шестикратного, и не более. И это силою удвоённого отношения, которое само собою устанавливает систему совершенную и всеобщую — то есть диатоническую, в отличие от двух других систем, хроматической и энгармонической, несовершенных и частных.

Совершенство и всеобщность диатонического рода в сравнении с двумя другими становится очевидной на практике именно тогда, когда из трёх родов делается единая система. Ибо по отношению ко всеобщей консонантной системе гармония главного тона сочинения не может и не должна быть иной, кроме как диатонического консонантного рода — то есть терции, квинты, октавы, и не более. Отсюда выходит, что всякая нота, которая есть начало и конец сочинения; всякая последняя нота промежуточной каденции, образующая завершение музыкального смысла; всякая нота, составляющая тон, относительный к главному тону, — совершенно исключает какую бы то ни было гармонию, кроме диатонической консонантной терции, квинты, октавы. Например, есть консонантная септима, доказанная выше; каковая, имея свою форму в семи и потому оставаясь исключённой из шестикратного, не может и не должна иметь места ни в одной из обозначенных выше нот, хотя она и консонантна. Она сможет иметь место в первой из двух нот, образующих гармоническую каденцию, как имеет его в Cfolfaut последнего обозначенного выше примера. Но никогда не сможет иметь его в Ffaut, которое есть нота каденции, и так соразмерно и всеобще в любом случае. По отношению же ко всеобщей диссонантной системе ясно, что фундаментальная гармония, на которой держатся диссонансы, всегда диатонична: ибо нет и не может быть случая, когда обнаружился бы диссонанс, основанный на иной гармонии, кроме терции, квинты, октавы.

Вот, стало быть, с очевидностью разъяснено на практике то, что хотели мы означить в доказательстве второй главы относительно шестикратного как периода и завершения цельного протяжения физико-гармонической системы. Когда из трёх систем делается единая система, обнаруживается — и доказательно, и практически, — что диатоническая, образованная удвоением в своём средоточии и шестикратным в своём протяжении, есть совершенная и всеобщая так, что без неё невозможно употребление прочих систем. Обнаруживается, что одна лишь диатоническая система держится сама собою и достаточна сама себе, и потому она была в употреблении у греков, у древних итальянцев, и употребляется у нас, когда того желают, во всей строгости её природы и устроения. Обнаруживается наконец, что прочее есть, правда, законное следствие этого предыдущего, но никогда не необходимое; ибо в конце концов всё прочее есть, правда, иной способ гармонии, но не иная сущность. Как сущность, она всегда выведена из шестикратного, без того чтобы её можно было когда-либо изменить — ни доказательно, ни практически. Стало быть, со всем основанием остаётся доказанным и подтверждённым в шестикратном завершение и период физико-гармонической системы. И на этом я заканчиваю четвёртую главу, которая, как и предыдущая, едва ли не вышла трактатом. Но в том нет моей вины, ибо не в моей власти разделять то, что соединяет гармоническая природа.

Глава V. О ладах, или музыкальных тонах, древних и новых

О ладах, или музыкальных тонах, древних и новых

Поскольку из различия музыкальных ключей и из различного положения обычной диатонической гаммы выводятся лады, или музыкальные тоны — существенная часть нашей церковной музыки и того более древней греческой музыки, — становится посему необходимой эта глава, в которой, впрочем, ничего не может быть доказательного и мало физического. Пока я плыл по своему морю, я всегда держал верный путь. Но чтобы хорошо услужить Вам, я должен теперь перейти к другому морю, неведомому всем нам, сколько нас есть, и не знаю, что может со мною там приключиться. Не ждите же от меня в этой главе той уверенности, что рождается из достоверности истины, какую Вы видели в предыдущих главах. Примите лишь истинную жертву моего послушания в настоящем случае, в котором я, зная Ваше особое желание углубиться в этот именно предмет (поистине интереснейший), дабы повиноваться Вам, вступаю в него ощупью.

Существо предмета составляет, с одной стороны, изыскание музыкальных ладов, посредством которых, а также посредством поэтической речи, древние греки по своему усмотрению возбуждали и усмиряли страсти человеческой души; а с другой стороны — сопоставление этих древних ладов с нашими современными. Чтобы привести к возможно большей ясности предмет — самый запутанный и самый тёмный из всех, какие только могут быть рассмотрены, — необходимо прежде всего уразуметь, что разумеется под словом «лад». Лад, понимаемый в древнем смысле вообще (который у греков назывался и другими именами — тропа, гармонии и прочее), означает напев, определённый по закону: пределом низкого и высокого; интервалами; восхождением и нисхождением; музыкальными акцентами, относящимися к метру; и инструментом, который сопровождал пение музыканта-поэта. Соразмерно же с предметами, рассматривавшимися в поэтической речи, — печальными ли, или весёлыми, или честными, или сладострастными; или яростными и вакхическими, или важными и религиозными и прочее, — определялись такие-то лады в особенности, с особыми условиями такого-то предела низкого и высокого, таких-то интервалов, такого-то восхождения и нисхождения, таких-то акцентов, относящихся к такому-то метру, и такого-то инструмента. Каждый лад имел своё особое имя — дорийский, фригийский, лидийский, эолийский и прочее — и был в точности приспособлен к тому особому предмету, которому соответствовал и ради которого был учреждён. Вот всё, что об этом предмете можно более или менее достоверно и надёжно почерпнуть из истории, ибо в этом (более или менее) согласны историки древние и новые. Если же притязать силою истории на возможность определить упомянутые обстоятельства, дело безнадёжно, ибо истории древние между собою, и тем более новые, противоречат друг другу; и, что ещё хуже, совершенно недостаёт памятников и примеров. Кажется посему, что можно усомниться, истинна ли история или ложна. Но таковы древние, что её передают, что выраженное сомнение в её истинности было бы дерзостью. Платона и Аристотеля довольно за всех, и они заставляют склонить голову.

Если же затем Вы спросите меня, возможна ли такая вещь в природе, я отвечу Вам с уверенностью, что да, ибо я сам свидетель этой возможности по многим случаям, со мною приключившимся, из которых приведу лишь один. В четырнадцатом году (если не ошибаюсь) нынешнего века в драме, что игралась в Анконе, была в начале третьего акта строка речитатива, не сопровождаемого иными инструментами, кроме баса, отчего как в нас, профессорах, так и в слушателях пробуждалось такое и столь сильное волнение души, что все мы переглядывались друг с другом в лицо по причине явной перемены краски, происходившей в каждом из нас. Действие это было не из слёз (помню прекраснейшим образом, что слова были негодующие), но из некоей суровости и холода в крови, что воистину возмущали душу. Тринадцать раз игралась эта драма, и всякий раз всеобщим образом следовало то же действие; явным знаком чего было глубочайшее предварявшее молчание, с которым весь зал приготовлялся насладиться этим действием. Я был слишком молод, чтобы иметь предусмотрительность сохранить этот пример, и ныне о том сожалею. Чтобы композитор (хотя и человек превосходный для того времени) знал по науке, что должно последовать такое действие, — этому я не верю; но верю, что, как человек превосходного вкуса и высочайшего суждения, каким он был, он был ведом здравым смыслом и словами и в тот миг случайно встретил истину природы. И отсюда я заключаю, что если дано начало волнения, то нет основания против его продолжения и его определённости. Дело в том, что в малых движениях и на короткое время композиторы много раз встречают какую-нибудь счастливую точку такого рода. Но нет ни правила, ни науки достигать этого с уверенностью, когда пожелаешь, и тем менее продолжать это на многие движения и на сколько-нибудь заметное время; и это всё, что я полагаю возможным с уверенностью утверждать об истории и о возможности дела касательно древних ладов.

Что до наших современных ладов, которые другим именем мы называем тонами, — хотя их природа известна достоверно, того же нельзя сказать об их числе. Общая практика и церковное употребление, которым они вообще служат, устанавливают их восемь. Дзарлино притязал, чтобы их было двенадцать. Другие притязали иначе. Но число их нисколько не важно для настоящей надобности; довольно знать их образование и природу. Эта последняя заключается по существу в обычной диатонической гамме, рассматриваемой в её протяжении октавы, в её гармоническом и арифметическом делении и в различии места полутонов гаммы, каковое различие не происходит и не может происходить из иного начала, кроме начала гаммы от различных нот.

Итак, октавы были установлены в следующем порядке:

[нотный пример]

Они были разделены гармонически и арифметически таким образом:

[нотный пример]

Их все наполнили интервалами общей диатонической гаммы (отсюда различие места полутонов), и сообразно тому в том же порядке установили восемь тонов — четыре гармонических, или автентических, и четыре арифметических, или плагальных. Есть затем законы и правила для соответственных напевов и каденций, так что по напеву и по каденции познаётся каждый тон. Вот существо наших ладов, или тонов. Хотя я и нашёл присоединённым прилагательное «Дорийский» к первому тону, способному к важным движениям души, «Гиподорийский» — ко второму, способному веселить дух, «Фригийский» — к третьему, способному возбуждать гнев, «Гипофригийский» — к четвёртому, способному наводить покой, и проч., — Вы можете поверить, что я остался непереубеждён. Зато я вполне переубеждён, что эти наши лады ничего общего не имеют с древними; и переубеждён сверх того, что учреждение их не самое законное. Ибо в предположении, что хотят разделить октаву гармонически и арифметически, деление получается не то, что учреждено, а вот это:

[нотный пример]

Так делится одна и та же октава: и никогда не таким образом, ибо тогда деление падает не на одну и ту же октаву, а на две разные октавы. Скажут, что в учреждении не хотели ничего иного, кроме переноса верхней кварты в нижнюю кварту, причём всегда сохраняется та же квинта относительно низкого и высокого, а во втором тоне — отсюда различие напева и различие каденции. Я отвечу, что это хорошо по воле и произволу, но не хорошо по природе и разуму. Либо хотят внутреннего различия в напевах и каденциях, либо нет. Если не хотят — учреждение бесполезно; если хотят — то не таков истинный способ его достигнуть, а вот этот. Даны музыкальные ключи Ffaut, Cfolfaut, Gfolreut, и соответственно даны три октавы мажорной терции

[нотный пример]

с их относительными октавами минорной терции,

[нотный пример]

пусть будет произведено рассмотрение, какие из них приводимы к дискретной геометрической пропорции, а какие нет. Я нахожу, что две октавы Ffaut и Dlasolre не могут быть приводимы к такой пропорции, ибо не могут быть разделены иначе как гармонически, а никак не арифметически, потому что Bmi не может быть делителем, или арифметической серединой октавы F, f: им должно было бы быть bfa. Но это исключено из диатонической гаммы. Стало быть, Gfolreut не может быть делителем, или арифметической серединой октавы D, d, потому что его терция — мажорная, а терция Dlasolre — минорная по природе гаммы. Стало быть, противность и противоборство гармонии в этих двух нотах, которые должны были бы образовать арифметическую, или плагальную, каденцию, если бы делитель, или арифметическая середина Gfolreut был той же природы гармонии, что и крайнее Dlasolre. Стало быть, два названных тона делимы не иначе как гармонически и потому неспособны к иной каденции, кроме гармонической. Стало быть, два тона Ffaut и Dlasolre не могут быть иными как автентическими.

Я нахожу, что две октавы Cfolfaut и Alamire приводимы к дискретной геометрической пропорции, ибо способны к гармонической середине и к арифметической середине сообразно природе соответственной гармонии [нотный пример]; это ясно. Стало быть, два тона Cfolfaut и Alamire могут быть автентическими и плагальными.

Нахожу, наконец, что две октавы Gfolreut и Elami не приводимы к дискретной геометрической пропорции, ибо по природе своей гармонии способны лишь к арифметической середине, а никогда не к гармонической, потому что Dlasolre, который по природе гаммы есть гармония минорной терции, не может быть гармоническим делителем октавы G, g, каковая по той же природе есть гармония мажорной терции; и потому не может быть гармонической каденции. Bmi не может быть гармоническим делителем октавы E, e, потому что его квинта по природе гаммы недостаёт на полутон; и потому не может быть [гармонической] каденции. Стало быть, два тона Gfolreut и Elami не могут быть иными как плагальными. Так вижу я внутреннее различие в учреждении и в итоге, и так тонов поистине восемь. Но всё это мимоходом, и возвращаюсь к первому намерению — которое, сказать правду, состоит не в разыскании, а в угадывании древних ладов, в изъяснении новых и в сравнении их между собою. Но насколько известны и изъяснимы новые, настолько и гораздо более неведомы древние, и потому сравнение их остаётся невозможным, и здесь главе по справедливости следовало бы прийти к концу. Но раз уж я должен продолжать её, повинуясь Вам, то прибавляемое мною я честно разделю по разрядам: достоверного, сомнительного и мнения.

Сперва излагаю вещи достоверные. Первая из них та, что наши новые лады ничего общего не имеют с древними ладами. Я не ставлю себе в заслугу это доказательство, ибо слишком многие до меня его доказали. Однако способ будет иным и послужит мне, чтобы привести к вещам некоторой важности.

Во-первых, интервалы древних ладов вовсе отличны от наших — не говорю все, но отчасти. Аристид перечисляет шесть ладов с точностью образующих их интервалов. В каждом ладу (хотя ни к чему приводить их целиком и с их именами) должен быть энгармонический [интервал]. «Diesis in omnibus audienda est enharmonica» — и это вот что: [нотный пример]. Наши лады, основанные на общей диатонической гамме, не имеют и не могут иметь такого интервала, нам вовсе неведомого и для нас неисполнимого. Древние музыкальные лады были столь строго сопряжены с просодией, что народ судил об ошибках (если таковые были), совершённых музыкантом-поэтом в долгих и кратких слогах относительно поэзии и музыки, — точка истории, в которой все согласны. Это мысль вовсе далёкая от наших новых ладов и от нашей музыки вообще, в которой (говоря искренне) мы заставляем просодию служить музыке, а не музыку — просодии. Но более того. В предписанном древними законе строго соблюдать в музыке долгие и краткие слоги невозможно было «вокализировать», то есть протягивать гласную в пении дольше, чем требовал слог. Мы же, напротив, продлеваем гласные на много тактов, хотя зачастую они кратки, как в «amen», как в «adoro» и проч.

Но здесь, синьор граф, Вы спросите меня, поистине ли возможно соблюсти в музыке со строгостью такта долгие и краткие слоги. Отвечу Вам, что это возможно вообще, в частности и в отдельности, ибо, как сказано в предыдущей главе, в значении музыкальных нот заключено всё потребное для такого действия. Однако необходимо различать. Либо значение слога берётся со всею строгостью, либо рассудительно (discretivamente). Если со всею строгостью — вне сомнения, что долгий слог должен длиться вдвое дольше краткого слога, ни более ни менее. При строгом соответствии минима [нотный пример] длится вдвое дольше семиминимы [нотный пример], эта — вдвое дольше восьмой [нотный пример] и проч. Допустив эту строгость, вот соответствие просодии и музыки в гекзаметрическом стихе:

в обыкновенном размере: [нотный пример]

в триоли: [нотный пример]

Этими двумя примерами я не притязаю ни на что иное, как показать, какой вид и какое движение музыкальных нот выходит в каждом из двух размеров, когда строго свести ноты к значению слогов. Но не притязаю затем, чтобы слоги, расположенные таким образом мерою, или тактом, строго соответствовали музыкальному чувству — по причине того, что́ сказано в предыдущей главе о долгих и кратких ударениях меры. Так ли было у греков, я не знаю; но нечто подобное должно было быть по необходимости безусловной, если в музыке надлежало различать долгие слоги от кратких. Но моё мнение таково, что мера у греков бралась рассудительно, а не со строгостью. Если они были истинными подражателями природы и если поэзией, сопряжённой с музыкой, возбуждали и усмиряли страсти, то по необходимости они должны были приметить то, что происходит в человеческой речи. Когда эта последняя сопряжена со страстью, естественное действие таково (сообразно страсти): большее или меньшее изменение голоса; большая или меньшая острота и сила тона; большее или меньшее продление слов и слогов и проч. В выражении страсти встречается то слово, что более значит: оно (и без нарочитого старания) выставляется более прочих, ускоряемое, если от гнева, продлеваемое, если от печали, и проч. — и так всё сообразно. Музыкант-поэт (если истинный философ), долженствуя сообразоваться с природою, должен был встречать бесчисленные случаи, в которых долгие слоги надлежало продлевать, краткие — укорачивать гораздо более строгого естественного их значения, дабы хорошо выразить страсть; и это в сравнении с естественным значением прочих [слогов], которые служили страсти лишь для того, чтобы её подготовить. Стало быть, необходим был такт рассудительный, а не строгий. В таком случае их музыка уподоблялась речитативу наших итальянских драм, в котором такт — по усмотрению, мало того, едва замечаешь, что есть такт. Так и должно быть несомненно, если надлежит подражать природе какой бы то ни было страсти, в которой, сколь бы постоянна она ни была, движение её не управляется и не может управляться равномерностью, ибо по внутренней природе оно неравно. Стало быть, никакой ряд равных тактов не может соответствовать такой мысли; мало того, не может соответствовать даже перемена такта из обыкновенного размера в триоль или обратно, ибо при различии размеров всегда есть равенство движений, составляющих размеры. В простом повествовании может иметь место равенство движений и, следственно, строгий такт. Но если истинно положение, что для движения других надобно быть подвигнуту в себе самом (а я полагаю его истинным), то немного будет повествований, которые по природе могли бы управляться равным движением, ибо немногие вовсе свободны от какой-либо страсти.

Утверждает же меня в моём мнении наблюдение, что рассудительная мера не только никогда не может повредить значению слогов, но, напротив, бесконечно помогает определить их, каковы они суть, при соблюдении одного-единственного правила: давать во всяком случае по крайней мере вдвое больше длительности долгому слогу в сравнении с кратким. Кто из нас усомнится, что, если дать в музыке строгий дактиль [нотный пример] в сравнении с рассудительным [нотный пример], первый слог рассудительного (и то же скажи о двух кратких) есть долгий? Будет даже напротив, и мы будем вернее уверены в значении слогов во втором способе, нежели в первом. Отсюда бесконечное удобство музыканту-поэту с величайшею лёгкостью подражать природе. И если мы, поставив себе ту же цель, поступали бы так же, почему хотим мы верить, будто греки поступали иначе? До сих пор я не мыслю, чтобы уклонился от предмета — а он есть сравнение древних ладов с нашими новыми, — ибо, поскольку неотделимо сравнение от разыскания той самой музыки, что составляла древние лады, всё, что я сказал и что ещё скажу, всегда будет относиться к намерению. Эта оговорка становится необходимой, потому что в сравнении я дам себя вести природе и разуму, насколько дойду до постижения той и другого. Буду держаться предмета по существу; быть может, не удержусь в порядке. Но — далее.

С нашими новыми ладами сопряжена одновременная гармония, образуемая согласием разных голосов — Баса, Тенора, Контральта и Сопрано. Вы знаете, что я не человек учёный. Однако мне на счастье известен знаменитый спор о том, знали ли и трактовали ли древние гармонию, понимаемую в нашем смысле; но мне неизвестно его разрешение. В таком случае по необходимости приходится прибегать к общему источнику, который есть природа. Род человеческий тот же, страсти те же. Поскольку в нашем случае нимало не важно их различное видоизменение относительно времён, обычаев, законов, воспитания, правления и проч., а для нужды довольно того, что корень тот же, — полагаю, что не ошибусь, если на этом верном основании, общем грекам и нам, выскажу следующее положение: что хотя бы грекам и была известна одновременная гармония, они не могли и не должны были ею пользоваться для достижения своей цели, но единственно должны были прибегать к одноголосному напеву. Если цель греков была возбуждать не какое бы то ни было волнение вообще, но такую-то страсть в частности, — то достоверно с достоверностью природы, что каждая страсть имеет свои особые движения и свой особый строй голоса. Возьму для примера две наиболее всеобщие, между собою противоположные страсти — радость и печаль. Радость имеет своё быстрое движение и строй голоса напряжённый и острый. Печаль имеет своё медленное движение и строй голоса приглушённый и низкий — и это вообще. Сообразно меньшей или большей степени соответственной страсти (покуда она остаётся в своих пределах и в своей природе) относительно изменяются движение и голос. Вот что происходит в природе, и каждый из нас на опыте познаёт в себе самом эту истину, когда о ней поразмыслит. Теперь говорю я: как же может статься (по природе), чтобы гармонией четырёх голосов, крайние из которых — Бас как низкий, Сопрано как высокий, удалось всецело подвигнуть к радости, когда в соединении высокого с низким есть внутренняя противоположность: этот свойствен печали, тот — радости? Но скажут, что есть восполнение в движении, которое для такого действия будет дано быстрым высокому голосу. Хорошо для одной части, плохо для целого, ибо движение и особый голос есть собственность каждой страсти — не движение, отделённое от голоса, и не голос, отделённый от движения. Вот, полагаю я, причина того, что многократно случается, когда мы слушаем какое-нибудь музыкальное сочинение, хорошо сделанное и хорошо исполненное. Мы не можем отрицать, что ощущаем в себе самих начало волнения вообще к такой-то страсти; но движения вперёд и завершения в частности я никогда не ощущал, ибо никогда не испытывал в себе самом действия целостного. Что до меня, держусь, что невозможны это движение вперёд и это совершение действия — по упомянутому противоборству, какое есть в крайних голосах Гармонии, ибо, будучи крайними и, следственно, родом, невозможно им вместе сойтись для произведения частного действия. Действие будет общим, какова и причина. Стало быть, будет волнение вообще к такой-то страсти; но никогда не будет страсти, видово́ определённой.

Надобно затем прибавить в частности, что такое-то движение и такой-то голос должны быть сопряжены с соразмерным напевом. Этот последний (оставаясь в диатоническом роде, в котором согласны и греки, и новые, и которого довольно для намерения) может образоваться не иначе как из стольких-то и таких-то определённых интервалов, а суть они: полутон, тон, две терции — мажорная и минорная, кварта, квинта, две сексты — мажорная и минорная, две септимы — мажорная и минорная, и октава; и ничего более, ибо всё остальное повторено и составно. Внутренняя природа этих интервалов, и в особенности простых, образующих гармонию, то есть октавы, квинты, кварты, мажорной терции и минорной терции, не однообразна, а различна; и различна таким образом, что, пользуясь для образования напева более этим, нежели тем интервалом, вполне ощутимо различие действия. Вообразим же, что вообще интервал терции дерзновеннее прочих и что в частности интервал мажорной терции подобает радости; и потому образуем напев, основа коего в частности — тон мажорной терции, остов которого вообще из мажорных и минорных терций, в котором долгое ударение в силу такта падает на названные терции, дабы они были ощутимее; пусть движение его будет быстрым и пусть поётся он сопрано, дабы наличествовали возможные необходимые условия. Такой напев будет, по предположению, подходящим радости. Но положенный в гармонию — несомненно, что, пока напев сопрано будет последовательно идти интервалами терций, гармония Баса, Тенора и Контральта будет идти одновременно и последовательно интервалами октавы, квинты, кварты, сексты, тона, полутона и проч. — сообразно различному расположению голосов, образующих гармонию, и сообразно различному переходу Баса от одной основы к другой. Но как же могло бы статься, чтобы рядом со столькими разными одновременными интервалами гармонии, которые к тому же большей силы, последовательные интервалы высокого напева произвели то действие, ради произведения коего был образован напев? И не помогает сказать, что высокий голос как крайний, наиболее напряжённый, будучи господствующим, будет явственно слышен в сравнении с прочими голосами и потому сможет произвести своё действие. Это положение ложно в гармонии. Три голоса против одного имеют более силы, хотя бы тот один был напряжённее, а три приглушённее. Такова истина на практике, когда голоса между собою соразмерны. Но допустим это положение. Спрашиваю: благодаря голосам, прибавленным для гармонии, будет или нет рассеяние внимания у слушателя, вынужденного слушать и главный голос, и прибавленные? Нельзя мне отказать — будет рассеяние; а его более чем довольно, чтобы разрушить главное намерение. Не лёгкое уже предприятие — желать возбудить поэзией и музыкой такую-то определённую страсть. Я-то полагаю его гораздо большим, нежели то, за какое берётся оратор, чтобы растрогать и убедить; мало того — величайшим из всех, какие случаются в возможности дел человеческих. Чтобы этого достигнуть, необходимо привести человеческую душу к полному вниманию, мало того — к напряжённости внимания. И невозможно его достигнуть, если дать место какому бы то ни было, хотя бы малейшему рассеянию, и эта истина есть истина природы, а не произведение моей головы. Стало быть, невозможно будет достигнуть намерения возбудить такую-то определённую страсть напевом, сопряжённым с гармонией, понимаемой в нашем смысле; и самое большее, как я сказал выше, возможно будет начало волнения вообще. Стало быть, если бы древним грекам была известна гармония в нашем смысле, они не должны были и не могли ею пользоваться для достижения своей цели, потому что относительно начал природы, в которых все, конечно, согласны, мы сами, которым гармония известна, были бы обязаны её исключить и прибегнуть к одноголосному напеву для достижения той же цели.

Многократно я здесь сказал: гармония, понимаемая греками в нашем смысле. Поясню. Нельзя отрицать, что греки в некотором смысле понимали гармонию, ибо этим словом полны их истории, наставления и памятники. Более того: консонантными интервалами они называли октаву, квинту и кварту, диссонантными — все интервалы, меньшие кварты. Стало быть, их гармония образовывалась не как наша из одновременных нот, но из нот последовательных, и они разумели (говоря по-нашему), что скачки кварты, квинты и октавы суть гармония и суть консонантны, а музыкальные ноты, заполняющие кварту, суть диссонантны. Потому они образовали тетрахорды, или скачки кварты, как опоры консонантной гармонии, и эти последние сообразно различным родам — Диатоническому, Хроматическому, Энгармоническому — наполнили различными делениями. Ясно видно, что наибольшим и первым их основанием была дискретная геометрическая дупла вообще, в отношении к которой они установили за гармонию и консонансом скачки кварты, квинты и октавы. Затем, даны самые низкие струны их системы, то есть Proslambanomenos и Hypate Hypaton [нотный пример], находим, что их первый тетрахорд Hypaton есть [нотный пример], ибо, подложив под Hypate Meson октаву, образуется дискретная геометрическая дупла [нотный пример]. Их второй тетрахорд Meson есть [нотный пример], то есть октава первого, самого низкого. Третий тетрахорд Synemmenon есть [нотный пример], каковой с пятым Hyperboleon вновь образует дискретную геометрическую дуплу [нотный пример]. Четвёртый тетрахорд Diezeugmenon [нотный пример] есть октава второго, Hypaton. По необходимости они так помыслили и так разумели, ибо так всё согласуется в их системе. Раз так и греки хорошо вывели из своих начал, то законное следствие то, что во всех трёх родах начало и конец их напевов лежали в опорах их гармонии, то есть в крайних точках соответственных тетрахордов, которыми, как известно, они пользовались, восходя и нисходя. Стало быть, один вид их каденций должен был быть таким в роде Хроматическом [нотный пример], в Энгармоническом [нотный пример]. Рассуждение тесно и выведено из их данных; потому держусь, что оно заключает. И тем более, что такой вид каденций вообще сообразен природе нисходящего большого полутона и имеет отменную грацию. В частности же он показывает, какое особое действие производит в каденции хроматического рода переход от Ffaut [диез] к Ffaut натуральному; в каденции энгармонического рода — деление (какое бы то ни было) большого полутона, каковое в таком месте, намерении и обстоятельстве не трудно исполнить.

Много, впрочем, образцов имеем мы в древнем церковном пении (всецело диатонического рода) каденций, образованных нисходящим большим полутоном. Я был бы недалёк от того, чтобы поверить, что среди этих древних напевов есть какой-нибудь законный по греческим образцам, — если бы мне не возражало отсутствие всякого соответствия между Музыкой и Просодией. Должно, конечно, признать, что есть среди них какой-нибудь столь полный важности, величавости и сладости, соединённых с величайшей музыкальной простотою, что мы, новые, с великим трудом произвели бы им равные. Поскольку для нужды нимало не важно исследование их Эпохи, но важно исследование их музыкальной природы, — несомненно, что это напевы, учреждённые для одного голоса (а что голос этот множится в унисон целым народом, нимало не отступает от цели учреждения, ибо унисон по разуму есть один голос); они простейшие; многие причастны природе Речитатива, но широкого; многие — природе песни; многие — той и другой; ни один не связан строгим тактом, но рассудительным; и каждый определяет тон, в котором сложен; и ограничен правильным и удобным протяжением низкого и высокого. Такая мысль вообще сообразна природе, и относительно всеобщности вещей невозможно помыслить проще, и невозможно, чтобы сами греки могли при первом замысле помыслить иначе. Мало того, будучи относительно нас первыми учредителями, они по необходимости должны были начать с этой мысли о простоте, ибо, сколь бы человек ни был способен к искусству и утончению, в первом изобретении и учреждении вещей, как известно, всё может природа, ничего — искусство, которое даже и не имеет места иначе как на данном природою. В этой всеобщности музыкальной мысли держусь за достоверное, что древние лады греков сходились с нашими древними итальянскими ладами, которые здесь я должен начать различать от наших поистине новых, о чём вскоре отдам отчёт. Видовое отличие древних греческих сводилось: к точности движений, которые мы назовём дроблениями музыкальных нот сообразно различному значению слогов; к точности выбора такого-то голоса относительно высокого и низкого, что мы назовём «Бас более, чем Тенор, Тенор более, чем Контральт» и проч.; к точности таких-то интервалов как опор и остановок напева, и тех меньших интервалов (мы назовём гаммами), которые должны были наполнять бо́льшие и должны были ограничиваться таким-то протяжением; к точности приёмов выражения, различных в каждом ладу (мы назовём добрым вкусом) сообразно природе страсти, на которую направлено намерение; к точности того инструмента, сопряжённого с голосом, что более подобал ладу и страсти. Всё это — приметы природы, и я не берусь утверждать, будто назначил их сполна. Прибавь сверх того, что у греков Музыкант был сопряжён с Поэтом, Поэт — с Философом; и человек один, как Музыкант, Поэт и Философ, трактовал вещи природы сообразно природе у народа бодрого, образованного и в самих этих вещах заинтересованного. Я не переубеждён, что музыка перешла от греков к латинянам с этой мыслью; гораздо менее — от латинян к нам. Отсюда её упадок и совершенная утрата. То, что осталось нашим древним итальянцам, есть один лишь материал, вовсе лишённый большей и важнейшей части вышеназванных точностей. Что в ладах древних церковных напевов верно и в точности сохранена природа лада сообразно соответственно установленным правилам — вещь истинная, но недостаёт главного: чтобы было доказано, что эти [правила] суть в точности те правила, какими для того пользовались греки. Что же до движений, или дроблений нот, разумно и с просодией ради такого действия устроенных; до определения напева, назначаемого скорее такому-то низкому голосу, чем такому-то высокому, или наоборот; до выбора таких-то интервалов, а не иных; до выражения напева скорее этим, нежели тем приёмом; до выбора инструмента, подобающего ладу, — об этом с тех пор перестали думать, да и не думали более никогда. То же, что мы прибавили от себя, есть одновременная гармония, то есть многоголосное согласие, модуляция и добрые приёмы, или добрый вкус. Какое действие может произвести наша гармония относительно такой цели, я, полагаю, доказал достаточно — что никакого в частности, какое было бы потребно.

Какое действие может произвести наша модуляция, нам предстоит увидеть. Я различил выше древние итальянские лады от наших поистине новых. Различение было необходимо относительно модуляции, которая, как я сказал в другом месте и как Вы и сами знаете, означает переход гармонии от предложенного тона к иному, но соотнесённому с предложенным. И недостаточно для настоящей нужды изъяснения в общем; по необходимости должно снизойти к частному таким образом, чтобы получить о ней полное понятие и образовать науку, ибо она — существенная часть нашей новой музыки и потому непременно должна была иметь место в настоящем трактате. Да будет же это его подходящее место, в котором она становится необходима для сравнения ладов.

Главное основание нашей модуляции лежит в тех же трёх нотах музыкального примера 3, приложенного к фигуре VII, на которых, как было видно, основана гармония, из коей выведена общая диатоническая гамма. Основание это наибольшее, ибо сводится к дискретной геометрической дупле [нотный пример]; и потому основание общее грекам и нам. Положив пропорцию в трёх музыкальных нотах (так как октава не необходима), они будут [нотный пример], каковые предполагаются первыми основами мажорной терции, как показано в своём месте. Каждой назначенной ноте — её относительная минорная терция, и все вместе будут [нотный пример]. Эти шесть нот, таким образом выведенные и понятые как первые основы, суть полное основание нашей новой модуляции. Эта последняя может блуждать и обращаться по любой из названных шести нот, перенося гамму и гармонию Cfolfaut (который относительно примера есть главный предложенный тон, в котором должна начинаться и оканчиваться гармония) в Gfolreut и в Ffaut для гармонии мажорной терции; и перенося гамму и гармонию Alamire (относительная нота минорной терции к Cfolfaut) в Elami и в Dlasolre для гармонии минорной терции. Отсюда рождается в наших сочинениях величайшая частота музыкальных альтераций и потому отклонение от диатонического рода, ибо Gfolreut, Elami несут диез при ключе, Ffaut, Dlasolre — бемоль при ключе. Модулируя в названные ноты и определяя тон, образуемый гаммой и соответственной им гармонией, гармоническими каденциями, неизбежна встреча и употребление соответственных альтераций, и это есть существо модуляции. Порядок же её не имеет устойчивого закона, и по большей части её правило — чувство Сочинителя, хотя можно сказать, что чувство даёт познать многие истины, которые затем служат правилом. Переход модуляцией от главной ноты тона мажорной терции к квинте тона есть переход общего чувства и потому сделался правилом. Это правило имеет своё начало и, следственно, свой разум. Тон мажорной терции по внутренней природе гармоничен. Стало быть, переход модуляции от главной ноты к квинте сообразен гармонической природе, ибо он от крайнего к его середине. Из этого вернейшего начала следует, что когда модуляцией устанавливается тон, смысл и период, мы все по природному чувству приходим к познанию того противоборства, какое встречается при переходе модуляцией от главной ноты тона мажорной терции к кварте тона. Противоборство рождается из противности природы. Кварта тона делит октаву тона арифметически. Если тон — мажорной терции (гармоничный по природе), должно ощущаться противоборство. Если тон — минорной терции (арифметический по природе), не ощутится никакого противоборства. Правда, что это противоборство не происходит от изъяна, который был бы или в основе, или в Сочинителе. Тон Cfolfaut составлен из двух природ, гармонической и арифметической, и потому модуляция справедливо может идти по обеим серединам — гармонической, арифметической. Но всё же, поскольку в одном и том же тоне есть две модуляции, сравнение, по необходимости из них рождающееся, открывает совершенство одной, несовершенство другой, и заставляет ощутить это противоборство. Вообще, если приметить природу тона и ближайшие относительные ноты, так чтобы модуляция шла по ступеням, а не скачками (скачком, например, а не ступенью модуляции был бы переход без подходящей середины от тона с бемолем к тону с диезом и наоборот); если приметить, чтобы модуляция держалась более главного тона, нежели тонов побочных и относительных (нередко слышишь противное), и в особенности в начале и в конце сочинения, — то с такими предосторожностями наши модуляции выйдут совершенными. Но слишком много было бы что сказать, ввязавшись в этот предмет, и потому довольно общей мысли как достаточной для нужды. Не так в церковных напевах и в гармонии и напеве ладов пятнадцатого века. Иной модуляции не встречается, кроме внутренней модуляции предложенного тона, и вся музыка тех времён пребывает совершенно и строго в диатоническом роде. И потому не встречается никаких альтераций, кроме диеза, необходимого на седьмой ноте гаммы минорной терции для образования гармонической каденции предложенного тона, который всегда есть единственный и единый для всего сочинения. Если сравним эти два рода музыки между собою — древний итальянский был важнее, величавее и строже нашего; наш — разнообразнее и прелестнее древнего. Если сравним эти два итальянских рода с древними греческими, держусь твёрдо, что древний итальянский был ближе нашего к ладам греков, и это легко вывести из сказанного. Наша модуляция весьма сложна, и образованная нами мысль ей соответствует, ибо вообще то сочинение более у нас ценится, которое разнообразнее в разумной модуляции. Признаю́сь, что и в Италии, и в иных местах находятся в этом деле люди превосходнейшие, искусство которых меня изумляет и даёт мне случай учиться. Но сомневаюсь с основанием, что это искусство не соответствует природе. Две вещи я наблюдал долгое время со внимательным размышлением. В наших гармонических сочинениях после долгого хода модуляции порой к концу образуется выдержанный звук в основном Басе на много тактов, и над ним модулируют различными сопровождениями, основой которых в разном виде остаётся постоянно та же основная нота; и потому модуляция остаётся в том же тоне, первой основой которого служит этот выдержанный звук (органный пункт), каковой в таком случае не может быть иным как либо квинтой, либо главной нотой предложенного тона. Какова бы ни была модуляция, она не может быть иной как простейшей, хотя бы и вставлялись разногласящие сопровождения, ибо в конце концов она управляется и поддерживается одной-единственной основой. Я наблюдал в разных обстоятельствах постоянное действие. То собрание [слушателей], которое многократно никакого или малое внимание оказывало сочинению, я всегда видел внимательным к гармонии органного пункта. Заметь это, и, найдя, что оно так, поразмысли, что это наблюдение природы. Другое моё наблюдение общее всем народам, у которых в обиходе наша новая музыка. Каждый из этих народов имеет свои народные песни, многие из которых давнего предания, многие произведены наново и приняты общим вкусом. По большей части они простейшие, мало того — заметь, что самые простые и естественные наиболее приняты. Несомненно, что в них нет и не может быть много модуляции; самое большее будет в квинте тона. Что народ охотнее слушает одну из этих песен, нежели какой угодно изысканный напев, промодулированный по всему своему кругу, — наблюдение столь же легко сделать, сколь и верно в подтверждении. Но скажут, что действие двусмысленно, ибо оно равно может происходить, и происходит, быть может, более от слов песен, в которых народ принимает участие, нежели от музыки песен. И я отвечаю, что, даны те же слова, сопряжённые с простым напевом песни и с напевом изысканно промодулированным по нашему искусству, и дан тот же Музыкант, который споёт тот и другой, — благосклонное суждение народа верно будет за первым. Повторю, что сказал в другом месте: природа имеет более силы, чем искусство; и прибавлю с уверенностью, что больший и лучший род есть диатонический, но он труднейший для хорошего обращения, ибо именно он крайне прост, как ближайший к природе. Если так, то наша модуляция увела нас ещё далее от цели, какую ставили себе греки.

Остаётся увидеть, какое действие для достижения той же цели могут произвести наши добрые приёмы, или то, что мы называем добрым вкусом. Этот последний заключается, во-первых и преимущественно, в голосе Певца, произведённом и поданном с мягкостью, приглушённом, усиленном, выдержанном своевременно и проч. Во-вторых — в форшлагах, трелях, приёмах tempo rubato и протянутого [времени], приёмах пения естественных и искусственных, должным образом приноровлённых к напеву и проч. Но прежде чем продвинуться в этом предмете, да будет примечено, чтобы не считать моё предположение ложным, поскольку кажется, будто я предполагаю добрый вкус изобретением наших времён. Знаю, это не изобретение ни наших, ни древних времён: это произведение человеческой природы. С тех пор как поют и играют, сама природа независимо от искусства давала ощутить дивные произведения во всякое время и у всякого народа, и продолжает, и будет продолжать это владение, доколе пребудет с миром человеческий род. Отсюда произошло искусство, и относительно времён и музыкальных ладов я более чем уверен, что был и должен быть добрый вкус как существенная часть музыки исполнительской. Стало быть, к нашим временам и к нашим музыкальным ладам относится моё положение, которое потому и есть частное. Если наш род музыки отличен от древних итальянских ладов, то соответственно должен быть отличен наш добрый вкус от вкуса наших древних. Если бы было иначе, нельзя было бы отрицать тяжкой и величайшей ошибки в одном из двух родов: ибо вещь вовсе невозможная не только по природе, но и по искусству, чтобы, даны два разных вида музыки, каждому подобало то же самое выражение и видоизменение. Дело само по себе настолько ясно, что считаю излишним его доказывать. Но от доброго вкуса зависят выражение и видоизменение, и они должны быть различны. Стало быть, различен и добрый вкус. Не говорю уже, чтобы его первые и общие начала не должны были быть единообразны в каком бы то ни было роде музыки. Голос, отменный по природе и отменно управляемый искусством, есть начало всеобщее; а когда недостаёт природы, необходимо в том восполнение искусства, ибо, по моему чувству, всеобщность и наибольшее совершенство доброго вкуса заключены в голосе и в выражении. Это я и называю истинным добрым вкусом по природе, ибо он именно подобает любому роду музыки. Всё остальное частно таким образом, что, когда рассмотришь без пристрастия уместность и неуместность приложения трелей, форшлагов, кантабильных приёмов и проч., найдёшь весьма частые случаи, в которых ни одна из таких вещей не может разумно иметь места. В Церквах поют «Miserere mei Deus»; в Театрах идут на смерть с лучшими названными музыкальными грациями. Хорошо, что привычка и обычай не дают места размышлению. Впрочем, довольно поразмыслить, чтобы немедленно обратилось в свою противоположность всякое удовольствие, какое можно получить от совершеннейшего исполнения. Напев, приноровленный к страсти, голос, приноровленный к напеву и по собственному природному качеству, и по искусству видоизменения, и по уместности низкого и высокого — будет иметь место во всякое время и обстоятельство; и вообще ничего более. Снисходя к частному, я отлично разумею уместность приноровления наших музыкальных граций к множеству напевов; но тех же музыкальных граций ко всем напевам я не разумел и не разумею никогда. Я слишком переубеждён и убеждён, что, будь напев поистине приноровлён к страсти, выраженной словами, каждый напев должен был бы иметь свои особые и частные способы выражения и, следственно, свой особый и частный добрый вкус. Что так разумели и так поступали греки — необходимо непременно относительно их цели: положение для меня настолько истинное, что, будь оно иначе, я тотчас отрицаю и сам факт, и историю, и возможность природы. Если мы разумеем и поступаем иначе, то причина в том, что одна музыка, отделённая от всякого иного соображения, сделалась единственной нашей целью и намерением. Поставив её себе как род, вид и отдельную вещь и всё к ней в этом смысле отнеся, отлично идут и согласуются с предметом наша гармония, наши напевы и наш добрый вкус. В этом смысле имеем мы и здесь, и в других местах превосходнейших Сочинителей и исполнителей, искусство которых удовлетворяет и довольствует вкус всей Европы — явнейший признак вообще, что это истина природы, ибо «Nemo omnes fallit». Но когда ставят ту же цель, что и греки, мы вовсе далеки от возможности достигнуть её нашими средствами. Тому противится наша гармония как род, заключающий в себе разные виды низкого и высокого. Нужда же для достижения намерения — в одном-единственном виде, видово́ определённом к страсти. Тому противится наш напев как промодулированный по нашему искусству; как свободный от всякого материального и формального соответствия Просодии; как независимый от обязанности выбора интервалов большего и меньшего протяжения в низком и высоком и от выбора определённого голоса. Нужда же — лишь в главном тоне; в связи с Просодией относительно долгих и кратких слогов, а гораздо более относительно стоп, подобающих страсти (соответствие столь же истинное, сколь и трудное), которым должен тождественно соответствовать напев; в точности интервалов, выбранных по природному соответствию страсти (вещь равно истинная и трудная); в определённом протяжении в низком и высоком; и в голосе означенном — скорее низком, чем высоком, скорее среднем, чем крайнем, и наоборот, сообразно нужде страсти. Тому противится равным образом наш добрый вкус как всегда один и тот же в каком угодно напеве и как составленный из тех частных составляющих, которые для приноровления к какому угодно обстоятельству несут с собою явное противоречие природе. Нужда же — в добром вкусе всегда различном сообразно различным страстям, всегда составленном из тех мельчайших составляющих, которые частны и особенны для такого-то рода напева, искомого страстью, и никогда не приноровимы к иному роду. Если страсть составлена из многих страстей (вещь частая), то в таком случае по большей части будет страсть главная как господствующая, и потому первый предмет. Если две страсти в равной степени (вещь возможная), тогда в одном и том же напеве нужда двоякая сообразно движению двух разных страстей. Я здесь слишком углубляюсь, того не замечая, — но не оттого, чтобы я сомневался в истине вышесказанных положений, а оттого, что в темноте, в которой мы пребываем, они выходят такой и столь великой точности, что, если бы Вы, синьор граф, спросили у меня музыкальный пример, из них выведенный, сочлось бы, что у Вас более правоты спрашивать его, чем у меня — отказывать. Но потише, прошу учтиво. Мои положения выведены из наблюдений природы, общей грекам и нам; и потому это наблюдения, выведенные из величайшего из всех родов. Стало быть, их точность рождается не внутренне из их выведения, но из их приноровления к ладам древним и новым, между собою сравниваемым. Точность такого рода недостаточна для нужды, чтобы предложить пример, и требуется слишком многое более. Требуется в Исполнителе соединение трёх вещей в одно: Нрав, видово́ определённый к страсти, Поэзия и Музыка; и потому необходим в высокой степени человек Философ, Музыкант и Поэт. Требуется в том, кто слушает, душа, расположенная вообще к действию, расположенная в частности сообразно разным отношениям, а суть они: Привычка к такому-то роду музыки. Уверен, что в этом отношении лучший из древних греков мог бы без достижения своей цели петь по своему изволению нынешнему Далматскому Народу, музыка которого не имеет определённых интервалов, но есть непрерывное протяжение голоса по усмотрению в низком и высоком. Сообразность мыслей относительно нрава. Если мысли слушающего несообразны представляемому нраву, он либо останется равнодушен, либо, если они противоположны, то более чем будет подвигнут — будет отвращён. Уверен, что Каннибалу, коему представлен предмет по нраву самый трагический, не возгнушается им, но усладится предметом. Соответствие движений относительно размера. Есть Народы и целые Нации по природе движения медленного, иные — быстрого, иные — умеренного. То движение, что недостаточно для потрясения одного, может быть достаточно и с избытком для потрясения другого; и это вообще по природе и воспитанию. В частности по природе и воспитанию: кто довольно сведущ хотя бы об одних европейских Нациях, тот приметил различие степени движений у одной Нации и у другой в наиболее напряжённом проявлении соответственной страсти. Эти [условия] (каждое само по себе) суть роды, и роды наивысшие, из которых всех как видов, образовав один род, тогда, быть может, и можно было бы назначить подходящий пример. Говорю «быть может», ибо относительно совокупности всех вышеназванных условий, образовывавшей род древних греков, даже если бы и удалось ныне его открыть и образовать таким, каков он был у них, весьма сомневаюсь, чтобы он произвёл у нас то же действие. Полагаю, что сказал здесь вещи вернейшие. Если они таковы, то слишком разумно моё сомнение; мало того, если бы я выдвинул следующее положение: что невозможна вещь, чтобы нрав, Поэзия, Музыка, что были однородны и подобающи древним грекам, должны были быть равно таковы для нас, итальянцев, и для иных Наций наших времён и обычаев, — то это положение не имело бы в себе ничего дерзкого. Семя страстей вообще то же у всех людей. Видовое его отличие — воспитание и обычай. В нашем же случае надобен не род, а отличие. Стало быть. А потому во всеобщем источнике природы должны были бы мы с гораздо большим основанием искать нашу однородность и сообразность относительно наших нынешних обстоятельств, нежели открытие того, что, даже если и удастся открыть, легко может ни к чему нам не послужить. Это сказано относительно всеобщего рода всех вещей, которые для достижения такой цели необходимы. В них я углубился более своего долга, который в настоящем случае есть [долг] Музыканта, а не Философа и не Поэта.

Но Вы, синьор граф (предвижу это), ждёте именно моего возвращения к моему ремеслу, дабы спросить у меня в частности и в точности различие природы наших музыкальных интервалов, о котором я выше утверждал вообще, что они между собою различны по природе, — изыскание, Музыканту принадлежащее; и дабы спросить у меня, быть может, ещё нечто более, как было бы хотя бы моё мнение об особой природе разрывов, или дроблений наших музыкальных нот, тождественно сведённых в значении к стопам Просодии: соображение, общее не только Музыканту и Поэту, но ещё и Философу.

Первое изыскание, которое к тому же относится особенно ко мне и для меня гораздо труднее второго, относящегося к общей подведомственности. Причина ясна. Привычка Профессора к музыке, начатой и продолжаемой без особых размышлений, до того сродняет силою навыка её части, что, когда между ними нет видового различия, делается почти невозможным различить их между собою по чувству; а тем более, если различение падает на отдельные предметы одного и того же вида или части одной и той же категории, каковы именно консонантные интервалы целостной шестерной системы и интервалы общей диатонической гаммы. Прибавь, что когда чувство не у всех общее и единообразное, оно ничего не заключает, ибо, оставаясь отдельным и частным, не образует той уверенности, какая в таком случае нужна, чтобы равнялась науке. По необходимости, стало быть, надлежит изыскивать в частности, на какой именно части чувство всех становится общим и единообразным; и изыскивать вообще начало всеобщего разума, которое наперекор приобретённым частным предрассудкам исправляло бы чувство, если есть в том нужда, и наперекор привычке делало бы его прозорливым. Это вещь не малая и не безразличная; однако — к делу.

Поскольку я должен быть согласен со своими началами, исследование чувством и разумом должно падать на гармонию, а не на напев, ибо та есть причина и корень, этот — действие и произведение. По общему чувству всех Наций, у которых возделывается наша музыка, гармония мажорной терции — сильная, весёлая, дерзновенная; гармония минорной терции — томная, меланхолическая и сладкая. Сводя общее чувство к разуму, нельзя назначить ничего иного в роде физическо-доказательном, кроме гармонической природы первой, арифметической — второй: та в непрерывном [continuo] и потому сильнее; эта в сопредельном [contiguo] и потому томнее. От силы первой — действие весёлое и дерзновенное; от слабости второй — действие меланхолическое и сладкое. Размышляя об этом начале разума, нахожу, что восходящий скачок кварты должен иметь более силы, чем тот же нисходящий скачок [нотный пример], по причине гармонической каденции, образуемой восходящим скачком, и арифметической, образуемой нисходящим. В силу этого разума наблюдаю то, что происходит в моём чувстве, и даю наблюдать это другим. Нахожу, что моё и чужое чувство соответствует разуму, и признаётся, что так физически и происходит. Стало быть, тот же разум и чувство будут иметь силу для скачка квинты нисходящего и восходящего. Нисходящий будет сильнее, веселее и дерзновеннее; восходящий — слабее, меланхоличнее и слаще, потому что нисходящий образует гармоническую каденцию, восходящий — арифметическую. Стало быть, дан в основном Басе ход восходящих скачков кварты — гармония будет сильной и весёлой; нисходящих скачков — слабой и меланхолической и проч.

[нотный пример]

Поскольку ход названных скачков изъясняет действие гораздо более, то, поставив судьёй чувства целый Народ Профессоров, говорю, что суждение согласуется с разумом. Тождественно то же в скачках квинты [нотный пример]. Но ход образует напев, и часть следует природе целого. Стало быть, той же природы будут соответственно напевы, образуемые ходом названных скачков. Стало быть, этим началом можно открыть природу каждого интервала диатонической гаммы. Ибо если из хода гармонии рождается напев, и этот не может не быть той же природы, что и гармония, из которой он рождается, — то, дан над гармонической каденцией большой полутон и малый тон доказательно [нотный пример], восходящие, по действию своему (как восходящие) будут сильными, весёлыми, дерзновенными; обращена гармоническая каденция в арифметическую, и следственно [нотный пример], обращены доказательно два названных интервала из восходящих в нисходящие [нотный пример], действие их (как нисходящих) будет томным, меланхолическим и сладким. Но о живости и силе восходящего большого полутона, о сладости того же нисходящего мы прозорливы наперекор привычке, и малый тон, стоящий сверху, есть [тон] физической доказательной силы той же гармонии. Стало быть, такова природа этих двух интервалов и по разуму, и по чувству. Вот, стало быть, ключ в руке для открытия разумом природы интервалов; ключ этот есть гармония. Потому труднее всего открыть главный из всех, который есть октава, по причине невозможности соотнести её с гармонией. Но разум — в ином. Если это первый из всех интервалов, то характер его должен быть простоты, важности и величавости. Характер простоты явен в обращении высокого члена в низкий, ибо он становится унисоном. Что до важности и величавости, мне кажется столь же явным, насколько по собственной природе она не может подобать ничему, кроме Баса; и потому интервал сильный и строгий, хотя и соединённый с величайшей простотою. И в самом деле: образован напев из скачков октавы поступательных, восходящих ли, нисходящих ли, и исполнен соответственно и в сравнении Басом и Сопрано (крайние открывают на диво) — хорошо исполненный Басом наложится с названным отменным действием; хорошо исполненный Сопрано не только не произведёт того же действия, но если к чувству слушающего присоединится некоторое размышление, действие будет неприятным и отвратительным. И здесь начинает примечаться иное начало разума и чувства, которое есть уместность интервалов соответственным голосам. Строго говоря, начало то же, то есть гармония. Но как в гармонии, расположенной по строгости, каждый интервал имеет своё особое место в соответственных голосах, образующих или составляющих гармонию, так соответственно в поступательном движении гармонии, когда напев образуется в названных голосах, интервалы, которые выходят по необходимости, а не по произволу, оказываются соответственно усвоены каждому голосу; и это есть частное начало их уместности. Сообразно этим двум началам в каждом интервале диатонической гаммы соображение двоякое, то есть сообразно природе действия и сообразно уместности места. Следствия и выводы таковы и столь многочисленны, что потребовали бы целого и весьма пространного трактата. Здесь не место и не время; а Вы, синьор граф, слишком хорошо умеете выводить сами. Перехожу же к тому, чтобы высказать Вам моё мнение о природе разрывов музыкальных нот, сведённых в значении к стопам Просодии; что́ означает по существу природу стоп, а не природу музыкальных нот, сведённых к стопам, ибо в этом отношении музыка служит материально Поэзии. Это рассмотрение свойственно Поэту, а гораздо более как Философу, нежели как Музыканту. Дело ясно, ибо Поэту-Философу принадлежит исследование уместности движений относительно страсти; и потому он должен близко знать соответствие чувств внутренних чувствам внешним, посредством которых надлежит пролагать путь к внутренним подобающими внешними движениями. Музыканту в этом не принадлежит ничего иного, кроме как сохранять названные движения с точностью и строгостью. Потому я и сказал вначале, что первое изыскание о природе музыкальных интервалов было для меня гораздо труднее второго изыскания о природе музыкальных разрывов. В первом изыскании я был обязан заинтересоваться и углубиться, ибо Музыкант. Во втором не обязан, ибо я не Поэт и не Философ. Пусть же придёт Поэт-Философ исполнить свою часть. В таком случае имею мнение, что на их данном смогу и сумею исполнить и свою часть. Это, и не иное, есть моё мнение о втором изыскании. Если же Вы, который надо мною всё можете и должны мочь, обяжете меня дать испытание себе самому как Поэту и Философу в таком предмете, скажу Вам с обычной моей искренностью, что устно не буду иметь никакого затруднения трактовать с Вами этот предмет, сколько Вы пожелаете и прикажете; на письме же — конечно, нет. Знаю свои пределы и строго их соблюдаю. Нет ничего легче передачи писаного — чтением ли, списком ли. Я краснею сейчас, воображая в таком случае моё появление как Музыканта, Философа, Поэта. Мне довольно одного [появления] как Музыканта таким образом, что от него остаётся мне смущения гораздо более, чем самодовольства. Да будет же это моим пределом; и самое большее, где я считаю себе позволенным продвинуться в этом предмете, есть сообщить Вам одно моё лукавое частное наблюдение. Если есть музыка у Наций (а музыка в некотором роде есть повсюду), не найдётся она никогда отделённой от Танца (Ballo). Этот есть ключ для открытия и выведения движений и разрывов соответственно различию Наций; и нет опасности ошибки, ибо язык [его] от природы. Отсюда постоянство в течение веков и веков употребления того же Танца, усвоенного соответственными Нациями таким образом, что он в конце концов получает наименование от Нации. В каждом из этих Танцев непременно найдутся физические движения, относящиеся к долгим и кратким слогам и к Просодическим стопам: довольно их наблюсти и привести, что не есть дело трудное. Это в таком предмете и есть моя Философия, которую я более истинным именем называю лукавым наблюдением. Вы же судите, лучше ли в настоящем случае быть Философом, нежели наблюдателем; и здесь оканчиваю Главу пятую, гораздо более довольный тем, что Вам повиновался, нежели тем, что сказал.

Глава VI. Об интервалах и модуляциях, особенных для новой музыки

Я возвращаюсь на твёрдую почву, возвращаясь к настоящей системе, на которой, утвердившись, продвигаюсь к рассмотрению тех особенных интервалов и модуляций, что обычно употребляются в новой музыке, но не употреблялись в пятнадцатом веке. Был ли тогда какой-нибудь особенный Сочинитель, который употреблял те самые интервалы, о коих мне предстоит трактовать, или же употребление их началось позднее, — я не знаю, и мне не важно это знать; мне довольно того, что они употребляются ныне, дабы рассмотреть их основание и их природу. Этих особенных интервалов три. Увеличенная секунда [нотный пример] — истинная секунда относительно музыкальных букв Ffaut, Gfolreut, но бо́льшая полуторного тона на малый полутон [нотный пример]. Её форма есть 75, 64. Уменьшённая терция [нотный пример] — истинная терция относительно музыкальных букв Gfolreut…

…Gfolreut, Bfe, но меньшая малой терции на малый полутон [нотный пример]. Её форма есть 144, 125. В этих двух интервалах [нотный пример] встречается практический случай, когда секунда оказывается бо́льшею величиной, нежели терция, — ибо увеличенная секунда слагается из трёх полутонов [нотный пример], а уменьшённая терция лишь из двух полутонов [нотный пример]. Уменьшённая кварта [нотный пример] — истинная кварта относительно музыкальных букв Gfolreut, Cfolfaut, но меньшая природной кварты на малый полутон [нотный пример]. Её форма есть 32, 25.

Во увеличенной секунде, обращая высокий звук в низкий, рождается уменьшённая септима [нотный пример] — интервал, весьма употребительный у нас. В уменьшённой терции, обращая высокий звук в низкий, рождается увеличенная секста [нотный пример] — равным образом весьма употребительная. В уменьшённой кварте, обращая высокий звук в низкий, рождается увеличенная квинта [нотный пример] — достаточно частая у нас.

Уменьшённую септиму мы рассматриваем и трактуем как диссонанс, однако не в строгом смысле, ибо она всегда разрешается нисхождением на полутон, но не всегда приготовляется, как того требует всеобщий закон диссонансов [нотный пример]. Равным образом в этом втором роде употребляется и малая септима, то есть Ffaut с [нотный пример]. Увеличенную квинту мы рассматриваем и трактуем не как диссонанс, но как несогласие (discordanza), ибо она не приготовляется и восходит [нотный пример].

И поистине верно, что её рассматривают ещё и иным образом — как уменьшённую кварту, ибо обходятся с нею наподобие консонирующего интервала. Но если Dlafolre — вторая основа, причём первой основой будет Bfa, для которого Ffaut [диез] есть увеличенная квинта, то и этот интервал приходится трактовать как консонирующий [нотный пример].

Увеличенную сексту мы рассматриваем и трактуем как консонанс [нотный пример]. Равным образом, если первой основою [взять Ffaut], но предположить Gfolreut [как настоящую основу]… [нотный пример].

Иные обороты выводятся из этих интервалов на практике, но в общем достаточно приведённых примеров, дабы составить о них надлежащее понятие.

Говорю, что все эти интервалы заключены в настоящей всеобщей системе; они в точности суть те, что в музыкальном примере 4 диссонансов, приложенном к фигуре VII, коим уплотнена общая диатоническая гамма; и относительно настоящей системы они хроматичны и энгармоничны. Повторяю уплотнённую гамму, сведённую числами к её формам:

[нотный пример]

[математическая выкладка — числовые формы интервалов опущены]. Увеличенная секунда лежит между Ffaut 675 и Gfolreut [диез] 576: отсюда уменьшённая септима [нотный пример]. Уменьшённая терция лежит между Gfolreut [диез] 576 и Bfa 500: отсюда увеличенная секста [нотный пример]. Уменьшённая кварта лежит между Gfolreut [диез] 576 и Cfolfaut высоким 450: отсюда увеличенная квинта [нотный пример].

Говорю, что интервал [нотный пример] хроматичен; что интервал [нотный пример] энгармоничен; что интервал [нотный пример] хроматичен относительно настоящей системы. В доказательстве нет нужды, ибо всё это уже доказано в Четвёртой главе. Говорю, что интервал [нотный пример] отвечает понятию древнего несоставного триполутона (triemituono). И это истинный триполутон, ибо делим на три полутона [нотный пример]; но он остаётся неделимым относительно музыкальных букв Ffaut, Gfolreut, между которыми не вмещается и не может вместиться никакая иная буква. Не так с интервалом [уменьшённой терции]: между Gfolreut и Bfa вмещается Alamire.

Какова же природа этих интервалов и каков по природе должен быть с ними обиход — можно рассмотреть на одном наглядном музыкальном примере, выведенном со всею строгостью из следующей гаммы [нотный пример]. Костяк и основание этой гаммы есть в точности пример 4 [нотный пример], из коего изъята первая нота Cfolfaut как всеобщая и общая всякой системе. Итак, по остающимся четырём особенным нотам примера 4 ясно образуется тон Dlafolre с малой терцией [нотный пример] и два равных тетрахорда [нотный пример].

Ныне говорю, что такого рода музыка может быть выполнена на практике с точнейшею строгостью к названной гамме и с точнейшею строгостью к названным интервалам — как в гармонии фундаментального баса, так и в соответственном напеве голосов. Законы, кои надлежит соблюсти, рождаются сами собою из природы гаммы. Первый будет тот, что первыми основами не могут и не должны быть иные ноты, кроме тех, что способны нести ту гармонию, из коей выведен диатонический род, — коль скоро истинно положение, что всякий иной род выводится из диатонического как из корня и первого начала. А положение это слишком истинно: ведь если два рода, хроматический и энгармонический, рождаются из последних мельчайших делений большого полутона, то надлежит предположить полутон неделённым. Но таков он есть диатонический; следственно, два названных рода не могут существовать иначе, как опираясь и утверждаясь на роде диатоническом. Следственно — так, и тем более — гармония.

И впрямь, в примере 4 [нотный пример] дело очевидно. Первый интервал есть малая терция [нотный пример], стало быть диатоническая, ибо выведена из общей диатонической гаммы. Следственно, в фундаментальном басе не смогут отыскаться иные первые основы, кроме трёх, кои там присутствуют, ибо в названной гамме нет иных нот, кроме трёх отмеченных, способных нести такую фундаментальную гармонию. Нет здесь и места для ошибки.

Равным образом если поставить Ffaut натуральным как пополнение со знаками [диеза], — ибо второй закон должен быть неизменностью гаммы как в гармонии, так и в напеве; иначе переменилась бы её природа. И потому, если, к примеру, пожелать поставить первою основою Ffaut [нотный пример], сняв диез у Cfolfaut гаммы, это была бы ошибка; равным образом, если пожелать поставить первою основою Cfolfaut [с диезом], Gfolreut натуральным и проч., это была бы ошибка, ибо вышло бы извращение природы. Словом, как неизменна общая гамма в соответствии с природою диатонического рода, так должна быть неизменна и эта новая гамма в соответствии с особым родом настоящей системы. И тем паче, что в конце концов обе эти гаммы должны быть в общем согласии. Из одного и того же всеобщего начала выведена доказательно гамма диатоническая, и доказательно выведена настоящая. Следственно, неизменны и та, и другая.

Этими двумя только законами и можно практически трактовать такого рода музыку — и, насколько судят мои и чужие беспристрастные уши, с превосходным действием. И вот пример весьма малого труда и усилия, перенесённый в тон Alamire ради удобства инструментов:

[нотный пример]

Говорю, что в этом примере нет диссонансов (за исключением кварты и терции каденций, что относится к роду диатоническому), и доказываю это. Если бы тут был диссонанс, он мог бы быть лишь в одновременной гармонии четырёх нот [нотный пример], кои отвечают органическому числу третьей основы септимы 3 [?], и потому, обращая число в первую основу, оно становится 3, то есть [нотный пример], что есть форма диссонанса. Но, обращая эту форму в следующую [нотный пример], обнаруживается, что в числе неорганическом, которое материально, но принадлежит гармонической пропорции — а она составляет природу [явления], — это форма консонанса. Следственно, истинная её форма есть вторая, а не первая. Следственно, в примере нет диссонансов.

Что во второй форме обретается гармоническая пропорция — ясно, если приписать каждой ноте число [нотный пример]. Три ноты — Ffaut 1000, Alamire 800, Cfolfaut 675 — суть точные [ноты] диатонической гаммы, и потому о них нет сомнения, хотя форма, или отношение полуторного на пятую (fesquiquinta) между Alamire 800 и Cfolfaut 675, и изменена: 675 превышает отношение 81, 80, как было видно в другом месте. Но это изменение внутренне присуще и неотделимо от гармонической системы, из коей выведена общая диатоническая гамма; и потому оно ничуть не умаляет систему как гармоническую. Остаётся рассмотреть четвёртый член, то есть музыкальную ноту Dlafolre [диез]. Когда она окажется либо в гармонической пропорции с прочими членами, либо настолько близкою к гармонической пропорции, что различить мельчайшую разность физически невозможно, — моё положение будет неоспоримо. Три музыкальные ноты [нотный пример] суть как 4, 5, 6. Стало быть, дабы четвёртый член, или музыкальная нота Dlafolre [диез], был в гармонической пропорции с тремя предыдущими, он должен быть 7.

[математическая выкладка опущена]. Сравнив Cfolfaut 675 и Dlafolre [диез] 576 с отношением 6, 7, обнаруживают мельчайшую рациональную разность отношения 224, 225, коей недостаёт Dlafolre [диез]. Но это разностное отношение 224, 225 много меньше отношения 80, 81, на которое 675 превышает истинную форму fesquiquinta, а оно ведь допущено доказательно в гармонической системе. Следственно, тем паче должно быть допущено в той же системе много меньшее названное отношение 224, 225; тем более что в рассуждении третьего звука разность 80, 81 физически ощутима, ибо в силе его с физической очевидностью различается малый тон от большого тона [нотный пример], —

[нотный пример: третий звук]

а разность 224, 225 физически не ощутима, ибо при данном 6, 7 в музыкальных нотах [нотный пример] получится третий звук Ffaut. Равным образом при данном [нотный пример] получится третий звук Ffaut, ибо палец играющего, нажимающий струну, не доходит до различения физической точки одного-единственного члена разности 224, 225, но при нажиме охватывает разом не только две физические точки названных двух членов, но и более того — с избытком и недостатком; и в таком случае третий звук с физической очевидностью определяется на Ffaut. Следственно, истинная форма есть [нотный пример], и есть форма консонирующая.

Прибавим к сказанному и то, о чём говорено выше: что в названной гамме не может быть иных первых основ, кроме трёх [нотный пример], кои, перенесённые в тон Alamire, суть [нотный пример]. Следственно, Ffaut — первая основа, а вовсе не Dlafolre [диез]. И верно, что в такте 14 приведённого примера обнаруживается, что, сведённый бас к первым основам, имеет две первые основы, несводимые к диатонической гармонии. Но не оттого здесь есть какой-либо диссонанс; и я нарочно пожелал тут показать, какого рода первые основы со строгостью проистекают из такого рода гармонии и каков может и должен быть их практический обиход.

Возразят, что таким образом ниспровергается основание органического числа, ибо делается возможной первая основа с числом 3 [математическая выкладка — числа второй основы септимы опущены] — каковое число принадлежит второй основе септимы, а отнюдь не первой основе, число которой должно быть 3. Но я отвечу, что вина не моя — она системы. Я ведом силою её к тому, чтобы подчиниться числу пропорции, а не числу органическому материальному.

Возразят (и весьма рассудительно), что, когда придётся продолжать гармоническую пропорцию далее 6 вплоть до 7, соответственная музыкальная нота не есть и не может никогда быть Dlafolre [диез], но Elafa [нотный пример]; и эта нота отвечает истинной природе пропорции и музыкального тона, ибо гармонически делит кварту [нотный пример]. Оттого тон оказывается утверждён в Bfa с большою терцией ради относительной гармонической каденции [нотный пример] — тон по природе весьма далёкий от тона Alamire [нотный пример] с малою терцией, в коем здесь утверждён пример. Стало быть, ложно положение и проч.

Возражение красиво и добротно, но в этой особенной системе оно ничего не держит; ибо при данной кварте [нотный пример] говорю, что Dlafolre [диез] есть её гармонический делитель в разности [нотный пример], рациональной от 224, 225, и потому возвращаемся к началу. Говорю далее и более того: что при данных арифметических корнях полуторных на третью (fesquiterze) 13, 15 [математическая выкладка опущена], сравнённых с Dlafolre [диез] как 576 и с Ffaut как 500, обнаруживается мельчайшая рациональная разность 624, 625. Следственно, разность ещё меньшая, и потому в отношении той же природы, что и корневое отношение fesquiterza. Следственно, нет тут ответа.

Если же по причине мельчайшей разности кто пожелал бы пойти против доказательства, предпочтя полную гармоническую пропорцию 6, 7, 8 неполной 675, 576, 500, — я отвечу уже не доказательным примером, приведённым выше, от неполного отношения малой терции [нотный пример], от неполной квинты [нотный пример], которая ведь принадлежит общей диатонической гамме, несмотря на её доказательное выведение из гармонической системы. Отвечу делом, опытом и общим чувством. Пусть весь музыкальный мир рассудит, сравнив — в звуке ли, в пении ли — эти две формы гармонии как первые основы [нотный пример]; более того, пусть сравнят со второю формою ту же гармонию, расположенную каким угодно иным образом. По всегда превосходному действию второй и по всегда жёсткому и неуклюжему [действию] первой формы с физической очевидностью выявится истина моего положения.

Коль скоро в настоящей системе невозможно отделить физическое от доказательного, я буду полагать, что истина там, где доказательство и действие сходятся, и никогда — там, где действие не отвечает доказательству. Мне, как профессору музыки, этого довольно и с избытком; но недовольно настоящей системе как доказательной. Ибо коль скоро в ней невозможны два доказательства, друг другу противоречащие, то вернейший знак, что доказательство, выше противопоставленное назначению Dlafolre [диез] гармоническим делителем кварты, не есть и не может быть доказательством. Вот его ложность.

[математическая выкладка опущена — разбор отношений 28, 24, 21; 27, 20; 80, 81 и т. д.]. Верно, что при данном 6, 7, 8 в числах 28, 24, 21 гармоническая пропорция полна, и 24 есть полная гармоническая середина. Но затем неверно, что 675, 500, то есть [нотный пример], есть полная кварта, ибо в простых числах, будучи как 27 к 20, она в разности 80, 81 от формы 4, 3. Член 675, что равен 27 и есть Ffaut, неизменен, ибо принадлежит диатонической системе и доказательно выведен; и он неполон относительно первого члена гаммы, Dlafolre. Следственно, гармоническая середина, которую надлежит доказательно назначить, есть не полной кварты, как 4, 3, но кварты неполной, как 27, 20. Ныне же пусть докажут, перенеся такую кварту в Cfolfaut, Ffaut, какая середина гармоническая ближе — Dlafolre [диез] как 576 между 675, 500, или Elafa как 7 между 6, 8.

[математическая выкладка опущена — сравнение членов 1269, 1080, 940; отношений 375, 376 и 140, 141]. При данном отношении 1269, 940, равном 27, 20, гармоническою серединою будет 1080. Сравнив два члена 675, 576 (в простых числах 75, 64) с 1269, 1080 (в простых числах 47, 40), получают разностное отношение 375, 376. Сравнив 6, 7 с 40, 47, получают разностное отношение 140, 141. Но 375, 376 — отношение много меньшее, чем 140, 141, и проистекает из сравнения 40, истинной гармонической середины, с 64, что есть Dlafolre [диез]. Следственно, Dlafolre [диез] настолько ближе к истинной гармонической середине, чем Elafa, насколько отношение 375, 376 меньше отношения 140, 141; и в этом-то и состоит раскрытая ложность. Следственно, истинно моё положение, ибо истинна система, из коей я верно его вывел.

Если же на практике, во избежание путаницы, полезно понимать органическое число так, как оно понималось доныне (а это поистине полезно), — пусть так и делают без всякого зазрения; тем паче что такой изъян не проистекает внутренне из органического числа, кое по собственной силе есть всегда практическое доказательство, но проистекает из недостатка музыкального знака, который в этом и в иных случаях следовало бы прибавить заново, дабы доказать различие тех членов, кои, будучи помечены одной и той же музыкальной буквою, тем не менее между собою различны. И потому как доказательно упомянутый Dlafolre [диез] есть истинный гармонический делитель кварты Cfolfaut, Ffaut, а стало быть истинная септима Ffaut, — но никогда не должен помечаться нотою Elafa, — так на практике тот же Dlafolre [диез] относительно музыкальных букв есть истинная секста Ffaut, а будучи поставлен первою основою, делает Cfolfaut истинною своею септимой. Следственно, изъян не в числе: он в недостатке знака. Итак, для нашей цели довольно доказательного разумения названного интервала — и ничего более.

Прибавлю четыре вещи касательно приведённого музыкального примера. Первая — что я нарочно расположил гармонию четырёх нот [нотный пример] в различных формах, дабы явились действие, употребление и различный обиход тех интервалов. Вторая — что эта особенная система способна нести многие диссонансы без изменения назначенной гаммы, что легко увидеть. Третья — что, хотя я выше назвал и эту гамму, и эту систему хроматического, энгармонического рода, я не разумею, однако, чтобы со строгостью так их и надлежало называть. Что я показал в уплотнённой диатонической гамме — то, конечно, аналогично двум родам, хроматическому и энгармоническому. Но что видится в особенной гамме этой новой системы — настолько же верно, что аналогии тут нет иначе, как в корне. Хочу сказать: коль скоро эта гамма выведена из музыкального примера 4, приложенного к фигуре VII, и коль скоро из уплотнения диатонической гаммы нотами примера 4 выведены два названных рода, можно с истиною сказать, что аналогия — в корне. Ничуть не заботясь о названиях, мне довольно того, чтобы вполне ощутима была разность двух гамм и двух соответственных гармоний, дабы познана была разность системы; и довольно мне того, что я свёл к их роду, природе и началу те интервалы, кои мы употребляем вразброс и безразлично, без правила и без разбора. Четвёртая вещь, тут весьма важная, — та, что четыре ноты [нотный пример], основание этой особенной системы, кои суть в точности диссонансы, доказанные в примере 4, приложенном к фигуре VII, относительно общей диатонической гаммы, — в этой системе держатся сами собою как консонансы. Вот, стало быть, с одной стороны — совершенство их начала, которое есть Круг; а с другой — ложное понятие, какое доныне имели о диссонансах, неприятных слуху. Я более чем уверен, что найдутся многие, кто получит необычайное удовольствие от этой особенной гармонии, хотя и составленной из музыкальных нот, по первому намерению диссонирующих; и едва ли найдётся кто-нибудь, кому она доставит неудовольствие и отвращение.

Из названных особенных интервалов рождаются по большей части и особенные модуляции, кои многими употребляются в наши времена. Говорю «по большей части», ибо, как будет видно, иные из них можно иметь и независимо от этих [интервалов]. Говорю «многими», ибо не все из тех, кто, впрочем, отлично знает своё дело, желают ими пользоваться. Более того, я приметил, что те выдающиеся мужи, в коих изысканное чутьё соединено с основательным разумом, никогда их не употребляют. Эти особенные модуляции по существу суть искусные обманы модуляции, ибо там, где она должна была бы идти — по природе тона, в котором учреждено сочинение, — к такому-то определённому относительному тону, её искусством заставляют идти к тону вовсе далёкому и по природе, и по отношению от главного учреждённого тона. Один пример вполне разъяснит дело. Пусть в тоне Alamire с малою терцией будет следующий ход гармонии и модуляции:

[нотный пример]

модуляция будет естественной для предложенного тона; но в разрешении Dlafolre, что есть [нотный пример], диссонанс септимы, поставленный в басу с числом 2, имея возможность разрешить себя законно — как в Cfolfaut второй основе, так и в Cfolfaut [с диезом] первой основе большой терции [нотный пример], — с диссонансом септимы, приготовленным числом 6 Dlafolre, рождается отсюда обман модуляции, которая вместо того, чтобы вернуться в Alamire с малою терцией — а это её начало, — переходит в Ffaut [с диезом], первую основу малой терции, по природе предложенной гармонической каденции в Cfolfaut [с диезом], первой основе большой терции. Сколь далёк тон Ffaut [с диезом] с малою терцией от тона Alamire с малою терцией [нотный пример] — пусть рассудит всякий, [сведущий] в искусстве. И всё же этот искусный обман модуляции употребляется многими; и подобным же обманом, возвращаясь затем к главному тону, как было бы, например [нотный пример], почитают это красотою и необычайной тонкостью нашего искусства.

Равным образом рождается этот обман модуляции от всякой музыкальной ноты двойственного начертания (di doppia figura). Положим, к примеру, Dlafolre [диез]: на органической клавише он имеет двойственное начертание — Dlafolre [диез] и Elafa, ибо одна и та же клавиша служит этим двум нотам [нотный пример]. Отсюда искусный обман [нотный пример], ибо Elafa берётся как [нотный пример]. Равным образом [нотный пример], ибо кварта с [диезом], что есть [нотный пример], берётся как…

Я не утруждаю себя тем, чтобы приводить Вам примеры наиболее изысканные. Довольно и тех, что попадаются мне под перо, дабы дать Вам о деле общее понятие. Зато я беру на себя труд указать происхождение и рудник этих искусственных приёмов и высказать своё мнение об их употреблении. Итак, говорю, что происхождение их не в обычной диатонической гамме и не может быть в ней, ибо всякий подобный приём окажется невозможен там, где не входит либо малый полутон, либо музыкальная нота двойного начертания — два условия, которых нет и не может быть в обычной диатонической гамме, понимаемой строго. Говорю, что происхождение их — в диатонической гамме, уплотнённой, как в примере 4, приложенном к фигуре VII. Там обретается рудник, из которого выводится много любопытного, и тем более, если к названной гамме прибавить консонирующую септиму.

Говорю, что в точности гармония [нотный пример], на которой основаны и особая гамма, и музыкальный пример этой главы, есть начало первое и образец такого приёма, ибо, как было показано, она может обращаться в консонирующую септиму [нотный пример]. Затем, дана верхняя часть [нотный пример], в которой Ffaut должно полагаться консонирующей септимой, ибо она — гармонический делитель; и, говорю, обращая её в гармонию и в модуляцию в Elami и проч. [нотный пример], то есть применённая в подходящем месте, она даст отменное действие, ибо строго говоря, гармония и модуляция не должны удаляться от заданного тона, который в конце концов и должен быть предметом главным. Это-то именно и есть основание, на которое я опираю своё мнение касательно таких приёмов. В сочинении, управляемом тоном заданным и установленным, я убеждён и уверен, что иные приёмы этого рода не могут иметь места, кроме лишь тех, которые не отступают от строгой модуляции тона. А там, где могут вполне иметь место все, какие только возможны по искусству, — это, полагаю, речитативы Драмы, Оратории и тому подобного. Ибо речитативы не только не обязаны там держаться тона заданного и установленного, но, напротив, служат удобству Сочинителя, чтобы располагать и приготовлять по своему усмотрению тон арий или песен. В особенности же и в точности отменное действие могут произвести в речитативе такие приёмы, когда понята их сила и природа и они приноровлены к словам подходящим, — а в Драме к тому нет недостатка в случае.

После всего, что относится к практике, остаётся посмотреть, могут ли такие музыкальные ноты двойного начертания служить такому употреблению доказательно. Но слишком легко увидеть, что никоим образом не могут, ибо слишком очевидна разница между малым полутоном [нотный пример] и большим полутоном [нотный пример]. Один и тот же органный клавиш отвечает Dlafolre и Elami, но не отвечает то же самое отношение; и потому доказательно невозможно, чтобы две названные ноты могли превращаться одна в другую, — что́ должно разуметь о всех музыкальных нотах двойного начертания. Стало быть, доказательно такие ноты не могут служить такому употреблению, хотя на практике их заставляют служить. И здесь я заканчиваю шестую и последнюю Главу.

Заключение

Установив составные части настоящей системы, я заключаю трактат, вышедший длиннее, нежели я ожидал. Предупреждая трудности, какие касаются системы, я их выдвигаю сам и разрешаю.

Две трудности возникают в первой Главе по поводу двух явлений, там изложенных, а именно: звучащая струна, натянутая на монохорде, и третий звук, рождающийся из двух или более данных звуков. Звучащая струна, о которой я утверждаю, что она производит не более трёх звуков, как 1, 3, 5, — иными утверждается, что она производит много больше, то есть 2, 4, сверх 1, 3, 5, но едва ощутимые, ибо в октаве с единицей и между собой; а иные, последующие после 5, то есть 6, 7 и проч., — но почти неощутимые, ибо слишком высокие. Пусть будет так; но никто не сомневается, состоят ли они в гармонической пропорции или нет. Этого довольно для моей цели: пусть в этом отношении не будет верным какое-нибудь частное моё положение — остаётся истинной система в своих составных частях. Третий звук, который я называю постоянно унисонным с 2, когда данные звуки состоят в гармоническом ряду, — о нём можно усомниться, унисонен ли он целому, то есть первой единице ряда. И в самом деле, поскольку качество этого третьего звука отлично от качества природного звука струн, это различие может породить недоразумение наперекор самому изысканному слуху и тысячам опытов. Пусть так в предположении; но нет места сомнению, есть ли третий звук гармонический бас, то есть гармонический корень данных звуков, или нет. Этого довольно и более чем довольно для физического обоснования гармонии — единственного и главного предмета настоящей системы.

Во второй Главе, всецело направленной на то, чтобы доказать гармоничность Круговой фигуры, помимо некоторой трудности может быть и замешательство, оттого что я доказываю названное положение такими и столь многими способами, что не только трудно постичь их все, но и постигнутые они производят впечатление, будто различные начала, из которых я вывожу положения, противоречат одно другому. Тому же немало способствует конец Главы, где, дабы дать Вам более полное понятие о науке, я распространился за пределы системы, тогда как во всём остальном трактате нарочно ограничился вещами чисто необходимыми. Но гораздо более способствуют трудности и замешательству начало и метод, которыми я пользуюсь, ибо главное доказательство моего положения, будучи выведено из отвлечённых оснований как из начал первых, производящих и образующих круговую фигуру, а не из величины конкретной, линейной, то есть из уже образованной фигуры, — новизна начала и метода неизбежно должна производить трудность и замешательство. Но лекарство легко: стоит выбрать и соединить лишь следующие положения, там доказанные. Первое: тройное отношение — пропорция, определяющая гармоническую систему, конкретным основанием которой оно служит, как отвлечённым началом служит гармоническая пропорция. Второе: квадраты синусов — гармонические средние того отношения, на которое разделён диаметр (по приведении отношения к геометрической прогрессии прерывной и проч.), в силу чего и доказана гармоничность окружности. Третье: диаметр как сумма двух радиусов и как разделённый синусами — арифметический в своём конкретном начале, ибо необходимо составлен и разделён равными единицами. К этим трём положениям да прибавится положение Архимеда, в котором посредством вписанных и описанных многоугольников доказывается, что диаметр относится к окружности как 7 к 22, — причём для теперешней нужды ничего не значит недостаток 7 или избыток 22. Поскольку в моих положениях содержится начало априорное, а в положении Архимеда — начало апостериорное круговой фигуры, говорю, что при упорядочении этих четырёх положений между собой получается то самое доказательство истины моего начала и моей системы, против которого не будет что возразить ни Вам, ни кому бы то ни было.

Вот порядок. По первому положению тройное есть пропорция, определяющая гармоническую систему и проч. Стало быть, если круговая фигура проистекает из первого гармонического начала, каким бы образом она ни проистекала, это первое начало не может быть ничем иным, кроме тройного.

[Далее следует числовая выкладка: из тройной прогрессии (12, 6, 4) выводится сумма 22 и положение членов 7 и 22 — то есть диаметр и окружность Архимеда; затем выкладка повторяется с более точным приближением Меция (Metius), 113 к 355, через тройные прогрессии и средние (гармоническое, арифметическое, контргармоническое); разности дают члены 343 и 12, причём 343 оказывается кубом 7. — Числовые ряды и умножения опущены.]

Сделав этот разбор, находим, что 12 есть точный крайний член заданной тройной прогрессии 4, 6, 7, 8, 12; что 343 есть куб 7, ибо 7 на 7 — 49, и 7 на 49 — 343. Но 7, 12 есть моё положение в корне, доказательно указующее тройные корни; разности (по общему согласию) суть наименьшие первичные составляющие; начало многоугольников совершенно отлично от моего начала и разрешается через разности в моём начале. Стало быть, сколь угодно неизвестна наука, указуемая результатом — числом-кубом; сколь угодно невозможна квадратура круга — остаётся вполне доказанной и подтверждённой истина моего начала и моей системы, ибо доказательно необходимо, чтобы такие точности зависели от начала истинного и первого. Законное следствие: коль скоро истинны наука, начала, система, то и трудность неизбежная, проистекающая из их новизны, должна быть преодолена изучением, временем и образованностью.

В третьей Главе две трудности относительно системы. Первая: образ ли круг, или образец. Вторая: имеет ли физико-гармоническая система свою полную протяжённость вплоть до шестерного, и не более. Эти две трудности там разрешены таким образом, что не допускают возражения. Касательно второй трудности — верно, что для доказательства завершённости гармонической системы в шестерной протяжённости я пользуюсь явлением звучащей струны, натянутой на монохорде, как производящей не более трёх звуков; и потому, когда звуки простираются за 5 в 6, 7 и проч., доказательство, конечно, не держится. Но поскольку это доказательство придаточное, а главное есть демонстрация, которою там ясно показывается, что гармоническая система, перейдя за 6, обращается в систему геометрическую, — оно возражения не допускает.

В конце третьей Главы, где я определяю соответственные гармонии и, следственно, консонансы и диссонансы, встречается наитягчайшая и важнейшая из всех трудностей. Верно, что в определении физической гармонии я делаю действительными те природы величин, которые относительно общепринятого способа мыслить суть не что иное, как умопредставления нашего ума; и потому верно, что здесь я противлюсь общему мнению. Но это не я противлюсь — это явления, которые принуждают и меня, и всех нас так мыслить. Дерзнули бы мы, чего доброго, назвать нашим умопредставлением звуки, которые рождаются из струны, натянутой на монохорде? третий звук, который рождается из двух или более данных звуков? созвучные звуки, которые рождаются от таких-то данных фигур звучащих тел и проч.? Это законы природы, совершенно независимые от нашего произвола и от наших умопредставлений. Ими я дал себя слепо вести и им строго подписываюсь. Поэтому, если здесь есть место возражению, да обращается оно не ко мне, но к физико-гармонической природе.

Не умея предвидеть иных существенных трудностей и установив в трёх первых Главах всю систему, я льщу себя надеждой, что установил её со всею тою строгостью, к которой обязал себя с самого начала. Не разумею, однако, будто исчерпал трактат всеми возможными частными выводами. В таком случае потребовалось бы немалое сочинение — целый том, какого Вы, синьор граф, гнушаетесь, и я равно. Впрочем, что такой том необходим — том, в котором содержалась бы наука и искусство контрапункта, и притом исчерпанные вполне и ясно сведённые к общему разумению музыкального Ремесла, — признаюсь, синьор граф, это слишком уж необходимо; и человек, поистине способный к такому предприятию, есть здесь, среди нас. Да благоволит Бог, чтобы на пользу Ремесла он к тому расположился, тогда как всё, что доныне есть у нас в печати из музыкальных правил, не имеет иного основания, кроме одной только практики. Но тут я не перестаю довольно дивиться, размышляя, как далеко в этом отношении продвинулось человеческое чутьё. Верно, что многие века, как сочиняют в гармонии. Верно, что во все эти века не было видано трактата, который доказывал бы истинные начала гармонии и из них выводил бы правила контрапункта. Верно, что когда наконец открыты эти начала и выведены главные правила, как Вы видели в трактате, обнаруживается, что практика, по одному только чутью, вполне попала в названные главные правила. Приходится сказать, что музыка в нас врождена и что гармония весьма сходна с человеческим разумом.

Здесь Вы спросите меня, можно ли, предположив, что музыкальной гармонии не существует, в силу одной этой науки вывести ту самую музыкальную гармонию, что выведена чутьём. Отвечаю Вам, что выведение это вполне возможно. Метод, мною употреблённый, обусловлен Вашим повелением. Вы пожелали научных оснований нашей музыкальной практики, предположив существование гармонии, и не более; и я полагаю, что в том успел. Впрочем, когда Вы вникнете в дух и существо трактата, Вы ясно увидите возможность выведения, независимого от чутья. А полезнее ли следовать чутью, нежели науке, или напротив, — этого я не решаю. Замечаю, однако, что это чутьё действительно, эта наука действительна. Поэтому заключаю, что полезно соединять чутьё с наукой, хотя искренне признаю́сь, что такая наука, выведенная из таких оснований и установленная таким образом, гораздо более под стать Философу, нежели музыканту-практику, и потому достаточно трудна для всякого.

Я убеждён, что когда бы она была всенародно известна и возделана, изучение, время, дальнейшие открытия и наблюдения произвели бы большую лёгкость, соединённую с величайшей пользой в двух отношениях. Первое: человеческое чутьё, опёртое на истинную науку и поддержанное вещами физическими, от неё неотделимыми, изъяснялось бы гораздо лучше и распространялось бы гораздо шире, — а отсюда хорошо обоснованная надежда достигнуть иным путём той цели, которой достигли древние. Второе: счастливо открылось бы однажды, каково и сколь велико протяжение науки физико-гармонической, малою частью которой является наша музыка. Многие мужи учёные и глубокие в разные времена занимались музыкой, рассматриваемой в той перспективе, которую почитали законной, и соответственно сказали и вывели вещи истинные, удивительные и достойные всяческой хвалы. Но когда бы она была увидена в этой новой перспективе, которую относительно гармонии я убеждён почитать единственно истинной и законной, и мужи таковые удостоили бы вновь ею заняться, — они познали бы куда лучше меня, что содержатся в ней вещи гораздо большие и величайшей важности. Но до этого мне нет дела, не иначе как чтобы услужить Вам в особенном Вашем удовольствии.

Возвращаюсь же к предмету и говорю, что когда Вы по Вашему способу и строгому методу произведёте разбор существенных частей системы и найдёте, что система всецело выдерживает испытание, — делайте Ваши частные выводы, и я уверен, что Вы выведете их превосходно, так что ничто не ускользнёт от Вашего рассмотрения.

Если я Вам говорю, к примеру, что правило не делать двух октав и двух квинт подряд между голосами гармонии имеет своё начало не только вообще от природы двух систем — гармонической и арифметической, — в которых последовательные отношения всегда различны, но в особенности от двойного и полуторного как отношений основных гармонической системы, и потому по достоинству и значению совершенно отличных от прочих отношений. Если я Вам говорю, что правило противных движений между голосами имеет своё основание в музыкальном примере 3, приложенном к седьмой фигуре, в котором не только ясно противное движение в сравнении с примером 1, но есть сверх того указание правила тех ходов от ноты к ноте, которые по ступеням или скачкам дозволены между голосами и Басом. Если я Вам говорю, что правило образования настоящих тем (приём особый и рудник многого иного) состоит существенно в гармоническом и арифметическом делении октавы, — и потому, если октава разделена гармонически [нотный пример], когда одна предлагает [нотный пример], другая должна отвечать [нотный пример]; и так же, если разделена арифметически [нотный пример], и проч. Если я Вам говорю это или иное, — лёгкое, — то знаю, что говорю вещи для Вас излишние. Повторяю же, что когда Вы найдёте настоящую систему истинной в ней самой и в каждой её части (но тут случай или всё, или ничего), Вы будете иметь случай, при Вашем даровании, скором и глубоком, выводить многие и многие годы; и я полагаю не без основания, что, поскольку Вы молоды, а я уже стар, Вы будете продолжать выводить, когда меня уже не будет среди живых. Что бы ни случилось, покуда я жив, я Ваш по долгу, уважению и сердцу; и потому всегда расположен Вам повиноваться, как повиновался ныне.